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OFDM 十六讲 2- OFDM and the DFT

2022-07-27 04:40:00 【明朝百晓生】

参考：

Iain Explains Signals, Systems, and Digital Comms

前言：

Shows how Orthogonal Frequency Division Multiplexing (OFDM) is implemented with a Discrete Fourier Transform (DFT), and how it relates to single carrier digital communications.

1： 单信道传输模型

2： OFDM 传输模型

3： DFT

一单信道传输模型

单信号传输模型，前面在讲modulation 有讲过。

发送方：

原始的bit流为0,1，经过QPSK等调制，0->1,1->-1

然后经过余弦振荡器调制成高频的模拟信号

加入高斯白噪声，经过信道把数据发出去

接收方

乘以相同频率的余弦信号，就可以解码出t 时刻的bit的 $\hat{x}$

二 OFDM 传输模型

2.1 两路

如上增加了一路正交信号 x_2

x(t)=x_1s_1(t)+x_2s_2(t)

s: 为余弦振荡器，把数字信号调制成模拟信号

$\hat{x_1}=\int_{0}^Tx(t)s_1(t)dt$

$=x_1\int _{0}^{T}s_1^2(t)dt+0$

同理

$\hat{x_2}=x_2\int s_2^2(t)dt$

正交就是一个周期内积分为0
例：
, $f_1=\frac{1}{T}$
$s_1(t)=cos2\pi f_1t$
$s_2(t)=cos2\pi f_2t$
$\int_{0}^T cos 2\pi f_1t* cos2\pi f_2tdt$
$=\frac{1}{2}\int cos2\pi(f_1+f_2)tdt+\frac{1}{2}\int cos2\pi(f_2-f_1)tdt+$
$=\frac{1}{2}\int cos 6\pi f_1tdt+\frac{1}{2}\int cos 2\pi f_1tdt$
$=\frac{1}{2} \frac{sin 6\pi f_1 t}{6\pi}|_{0}^T+\frac{1}{2} \frac{sin 2\pi f_1 t}{6\pi}|_{0}^T$

2.2 多路

实际实现中,不可能有无用大的数。

可以用IDFT（离散傅里叶逆变换表示）Inverse discrete Fourier transform

$x(t)=\sum_{k=0}^{N-1}x_k e^{j(\frac{2\pi}{T}k)t}$

每channel对应的信号频率为 $\frac{k}{T}$ ,跟其它channel的信号正交

另一种形式

傅里叶变换
$F(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jwt}dt$
傅里叶逆变换
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(w)e^{jwt}dw$
傅里叶逆变换原理：

$\int \int f(x)e^{-jwx}dx e^{jwt}dw$
$=\int \begin{bmatrix} \int e^{-jw(x-t)}dw \end{bmatrix}f(x)dx$
$=\int 2\pi \delta (x-t)f(x)dx$
$=2\pi f(t)$
则
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int F(w)e^{jwt}dw$