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概率论与数理统计

2022-08-02 06:59:00 【阿强真】

概率论与数理统计

随机实验及其概率

随机实验及其概率

一、基本概念

随机实验
称一个试验为随机试验,如果它满足以下三个条件

试验可以在相同的条件下重复进行;
试验所有可能结果是明确可知道的,并且不止一个
每一次试验会出现哪一个结果,事先并不能确定.
我们是通过研究随机试验来研究随机现象的,为方便起见,将随机试验简称为试验,并用字母E或 $E_1,E_2…$ 表示.

随机试验
在一次试验中可能出现,也可能不出现的结果称为随机事件,简称事件,并用大写字母A,B.C等表示.因讨论需要,将每次试验中一定发生的事件称为必然事件,记为?.每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件,记为∅
样本空间
随机试验的每一个可能结果称为样本点,记为o.样本点的全体组成的集合称为样本空间(或基本事件空间),记为 $\Omega$ ,即 $\Omega$ ={w}l.由一个样本点构成的事件称为基本事件.随机事件A总是由若干个基本事件组成,即A是 $\Omega$ 的子集.

二、事件的关系和运算

定义
(1)如果事件A发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A(或A被B包含),记为 A $\subset$ B.
(2)如果A $\subset$ B.且A $\subset$ B.,则称事件A与B相等,记为A=B.A与B相等,事实上也就是说,A与B由一些完全相同的试验结果构成,它不过是同一事件表面上看起来不同的两个说法而已.
(3)称“事件A与B同时发生”的事件为事件A与B的积事件(或交事件),记为A∩B或AB.

(4若AB≠ ,则称事件A和B相容;若AB= $\oslash$ ,则称事件A与B互不相容,也叫互斥.如果一些事件中任意两个事件都互斥,则称这些事件是两两互斥的,或简称互斥的.
(5)称“事件A与B至少有一个发生”的事件为事件A与B的和事件(或并事件),记为AUB.

(6)称“事件A发生而事件B不发生”的事件为事件A与B的差事件,记为A-B;称“事件A不发生”的事件为事件A的逆事件或对立事件,记为A.
由定义易知:
$A-B=A-AB=A\bar{B}\,\, \\ B=\bar{A}\Longleftrightarrow AB=\oslash \text{且}A\cup B=\Omega$
(7)称有限个（或可列个）事件 $A_1,A_2,...A_n$ 构成一个完备事件组，若 $\bigcup_{i=1}^n{A_i}=\Omega ,A_iA_J=\oslash \left( \text{对一切}i\ne j;i.j=1,2,...n \right)$
(8)事件的关系与运算可以用文氏图形象地表示出来(见图1-1),图中的矩形表示必然事件

在这里插入图片描述 2. 运算法则
$\left( 1 \right) \text{吸收律} \text{若}A\subset B\text{，则}A\cup B=B,A\bigcap{B=A.} \\ \left( 2 \right) \text{交换律} A\cup B=B\cup A,A\bigcap{B=B\cap A.} \\ \left( 3 \right) \text{结合律} \left( \,\,A\cup B \right) \cup C=A\cup \left( B\cup C \right) ,\left( A\bigcap{B} \right) \bigcap{C}=A\bigcap{\left( B\bigcap{C} \right)} \\ \left( 4 \right) \text{分配率} A\cap \left( B\cup C \right) =\left( A\cap B \right) \cup \left( A\cap C \right) , A\cup \left( B\cap C \right) =\left( A\cup B \right) \cap \left( A\cup C \right) ,A\cap \left( B-C \right) =A\cap B-A\cap C \\ \left( 5 \right) \text{对偶律}\left( \text{德}.\text{摩根律} \right) \,\,\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B},\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$
在这里插入图片描述
例题：
以A表示事件“甲产品畅销,乙产品滞销”,则其对立事件 $\bar{A}$ 为().

( A )甲产品滞销，乙产品畅销

( B ) 甲、乙产品均畅销

( C ) 甲产品滞销或乙产品畅销

( D )“甲产品滞销”
答案：C
解析：
$A=\left\{ \text{甲畅销，乙滞销} \right\} \text{，记}B\text{为甲畅销，}C\text{为乙滞销，则}A=B\cap C \\ \bar{A}=\overline{B\cap C}=\bar{B}\cup \bar{C},\text{即甲滞销或者乙畅销}$

例2：判断下面命题是否成立并说明理由：
$\left( 1 \right) A-\left( B-C \right) =\left( A-B \right) \cup C$
错： $A-\left( B-C \right) =A-B\bar{C}=A\overline{B\bar{C}}=A\left( \bar{B}\cup C \right) =A\bar{B}\cup AC=\left( A-B \right) \cup AC\ne \left( A-B \right) \cup C$

三、概率的定义

描述性定义
通常将随机事件A发生的可能性大小的度量(非负值)称为事件A发生的概率,记为P(A).(probability)
统计性定义
在相同条件下做重复试验,事件A出现的次数k和总的试验次数n之比k/n称为事件A在这n次试验中出现的频率.当试验次数n充分大时,频率将“稳定”于某常数p.n越大,频率偏离这个常数卜的可能性越小.这个常数p就称为事件A 的概率.
公理化定义
设随机试验的样本空间为Q,如果对每一个事件A都有一个确定的实数P(A),且事件函数P(·)满足;
$\left( 1 \right) \text{非负性：}P\left( A \right) \ge 0; \\ \left( 2 \right) \text{规范性：}P\left( \Omega \right) =1 \\ \left( 3 \right) \text{可列可加性：对任意可列个两两互不相容事件}A_1,A_2,...A_n...\left( j\text{即}A_iA_j=\oslash \text{，}i\ne j \right) \text{，有} \\ \,\, P\left( \bigcup_{i=1}^n{A_i} \right) =\sum_{i=1}^{\infty}{P\left( A_i \right)} \\ \text{则称}P\left( . \right) \text{为概率，}P\left( A \right) \text{为事件}A\text{的概率}$

在这里插入图片描述

四、古典概型和几何概型

下面研究两种非常重要的概率类型:古典概型和几何概型.
(1）称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型,如果其样本空间(基本事件空间)满足:
①只有有限个样本点(基本事件);
②每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样.
如果古典概型的基本事件总数为n,事件A包含k个基本事件,也叫作有利于A的基本事件为k个，则A的概率为
$P\left( A \right) =\frac{k}{n}=\frac{\text{事件}A\text{所含基本事件的个数}}{\text{基本事件总数}}$
由上式计算得出的概率称为A的古典概率
（2）称随机实验的概率模型为几何模型，如果：