关于一道01背包问题的·拓展题的思考

[USACO03FALL]Cow Exhibition G

题目背景

题目描述

奶牛想证明它们是聪明而风趣的。为此，贝西筹备了一个奶牛博览会，她已经对 $N$ 头奶牛进行了面试，确定了每头奶牛的智商和情商。

贝西有权选择让哪些奶牛参加展览。由于负的智商或情商会造成负面效果，所以贝西不希望出展奶牛的智商之和小于零，或情商之和小于零。满足这两个条件下，她希望出展奶牛的智商与情商之和越大越好，请帮助贝西求出这个最大值。

输入格式

第一行：单个整数 $N$，$1\le N\le 400$。

第二行到第 $N+1$ 行：第 $i+1$ 行有两个整数：$S_i$ 和 $F_i$，表示第 $i$ 头奶牛的智商和情商，− $1000\le S_i;F_i\le 1000$。

输出格式

输出单个整数：表示情商与智商和的最大值。贝西可以不让任何奶牛参加展览，如果这样做是最好的，输出 $0$。

样例 #1

样例输入 #1

5
-5 7
8 -6
6 -3
2 1
-8 -5

样例输出 #1

8

提示

选择第一头，第三头，第四头奶牛，智商和为−5+6+2 = 3，情商和为7−3+1 = 5。再加

入第二号奶牛可使总和提升到10，不过由于情商和变成负的了，所以是不允许的

这道题是01背包问题的一个拓展，挺难想到的，将智商当作体积，情商当作价值，
因为智商有负值，根据数据可算出智商之和: -400*1000 <= sum <= 400 * 1000,.
所以可以将智商加上偏移量400*1000，这样作为数组下标就不会越界了

画重点: 这题话要保证dp[j]是恰好智商和为j-M,如何保证呢？这就是下面代码中的先初始化所有值为-0x3f3f3f3f，这个数值的两倍不会溢出，然后初始化f[M]=0,这样在状态转移时我们最终取得max中的最大值是那些从0转移过去的状态，也就是恰好经过多次迭代dp[j] = max(dp[j], dp[j - s[i]] + f[i]);最终的最大值来源是从dp[M]也就是智商和为0转移过去的，这样就保证了我们最后的结果dp[j]一定是恰好智商和为j-M
思路参考了: 背包问题复习题单讲解
代码如下:

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10, M = 400 * 1000;

int dp[N], n, s[N], f[N];

int main()
{
    
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        cin >> s[i] >> f[i];
    memset(dp, -0x3f, sizeof dp);//因为情商有负值，取max,要初始化负无穷
    dp[M] = 0;//这两行保证了dp[j]是恰好智商和为j-M
    for(int i = 0; i < n; i ++){
    
   		//对01背包进行了拓展，因为j - s[i]可能是大于j也可能是小于j
   		//一维化处理了，实际是dp[i][j],从前i个中在智商只有j-M时选的最大情商
   		//所以如果j - s[i]大于j就要正序遍历更新，因为用的是上一层后面的
   		//如果j - s[i]小于j就要逆序遍历更新，因为用的是上一层前面的
        if(s[i] >= 0)
            for(int j = 2 * M; j >= s[i]; j --)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - s[i]] + f[i]);
        else
            for(int j = 0; j <= s[i] + 2 * M; j ++)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - s[i]] + f[i]);
    }
    int  res = 0;
    for(int i = M; i <= 2 * M; i ++)
        if(dp[i] > 0)
            res = max(res, dp[i] + i - M);
    cout << res << endl;
    return 0;
}