MATLAB程序设计与应用 2.4 MATLAB常用内部函数

MATLAB程序设计与应用

2. 第2章 MATLAB数据及其运算

2.4 MATLAB常用内部函数

内部函数是由 MATLAB 系统根据一般用户的需要编制并提供给用户使用的一组程序，也称为系统函数或库函数。

2.4.1 常用数学函数

MATLAB提供了许多数学函数,函数的自变量规定为矩阵变量，运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上，因而运算的结果是一个与自变量具有相同维数和大小的矩阵，即结果矩阵与自变量矩阵同型。

>> A = [4,2;3,6]

A =

     4     2
     3     6

>> B = sqrt(A)

B =

    2.0000    1.4142
    1.7321    2.4495

常用的数学函数

函数名	功能	函数名	功能
sin/sind	正弦函数,输入值为弧度/角度	abs	绝对值函数
cos/cosd	余弦函数,输入值为弧度/角度	rem	求余
tan/tand	正切函数,输入值为弧度/角度	mod	求模
asin/asind	反正弦函数,返回值为弧度/角度	fix	向零方向取整
acos/acosd	反余弦函数,返回值为弧度/角度	floor	不大于自变量的最大整数
atan/atand	反正切函数,返回值为弧度/角度	ceil	不小于自变量的最小整数
sinh/asinh	双曲正弦函数/反双曲正弦函数	round	四舍五入到最邻近的整数
cosh/acosh	双曲余弦函数/反双曲余弦函数	sign	符号函数
tanh/atanh	双曲正切函数/反双曲正切函数	gcd	最大公约数
sqrt	平方根函数	lcm	最小公倍数
log	自然对数函数	factorial	阶乘
log10	常用对数函数	isprime	判断是否为素数
log2	以2为底的对数函数	primes	生成素数列表
exp	自然指数函数	perms	生成所有排列
pow2	2的幂	randperm	生成任意排列

使用说明：

1. 三角函数有以弧度为单位的函数和以角度为单位的函数，以角度为单位的函数在函数名后面加“d”，以示区别。

2. abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。例如, abs(-4). abs(3+4i)、abs(‘a’)的值分别为4、5、97。

3. 求余运算和求模运算有相同的地方但又不完全一致，主要的区别在于对负整数进行除法运算时的操作不同。对于整数a、 b来说，求余运算或求模运算的方法都是先求整数商c=a/b,
   再求余数或模r=a-c*b。求余运算在取c的值时，向0方向取整(fix函数)，而求模运算在计算c的值时，向负无穷方向取整（floor函数）。

   rem与 mod 函数的区别是,当b≠0时，rem(a,b)=a-b.*fix(a./b),而mod(a,b)=a-b.*floor(a/b);当b=0时,rem(a,0)=NaN 而mod(a,0)=a。

   显然，如果a、b符号相同,那么rem(a,b)=mod(a,b)。如果a、b符号相反，那么
   mod(a,b)=rem(a,b)+b。rem(a,b)的符号与a相同，而 mod(a,b)的符号与b相同。例如，rem(7,4)=mod(7,4)=3;rem(-7,-4)=mod(-7,-4)=-3;rem(7,-4)=3,而 mod(7,-4)=-1:rem(-7,4)-3,而mod(-7,4)=1 。

4. 用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。round 函数的作用是四舍五入。设a为最靠近x的正整数(|x|≥a)，则其余3个函数的区别：

   

设x=2.45，则fix(x)、floor(x)、ceil(x)、round(x)的结果分别是2、2、3、2。又设x=-2.65，则fix(x)、floor(x)、 ceil(x)、 round(x)的结果分别是-2、-3、-2、-3。

5. 关于符号函数。当x<0时，sign(x)=-1:当x=0时，sign(x)=0:当x>0时，sign(x)=1。

2.4.2 矩阵的超越函数

MATLAB还提供了一些直接作用于矩阵的超越函数,这些函数名都在上述内部函数名之后缀以m,并规定输入参数A必须是方阵。

1. 矩阵平方根

   sqrtm(A)计算矩阵A的平方根√A。

   >> A = [4,2;3,6];
   >> B = sqrtm(A)
   
   B =
   
       1.9171    0.4652
       0.6978    2.3823
   
   >> B * B
   
   ans =
   
       4.0000    2.0000
       3.0000    6.0000
   

   若A为实对称正定矩阵或复埃尔米特（Hermitian)正定阵，则一定能算出它的平方根。但某些矩阵，如 A=[0,1;0,0]就得不到平方根。若矩阵A含有负的特征值，则sqrtm(A)将会得到一个复矩阵。

   >> A = [4,9;16,25];
   >> eig(A)
   
   ans =
   
      -1.4452
      30.4452
   
   >> B = sqrtm(A)
   
   B =
   
      0.9421 + 0.9969i   1.5572 - 0.3393i
      2.7683 - 0.6032i   4.5756 + 0.2053i
   

2. 矩阵对数

   logm(A)计算矩阵4 的自然对数。此函数输入参数的条件与输出结果间的关系和函数sqrtm(A)完全一样。

   >> A = [4,9;1,5];
   >> L = logm(A);
   >> L
   
   L =
   
       1.0639    2.4308
       0.2701    1.3340
   

3. 矩阵指数

   expm(A)的功能是求矩阵指数e的A次幂。

   L =
   
       1.0639    2.4308
       0.2701    1.3340
   
   >> B = expm(L)
   
   B =
   
       4.0000    9.0000
       1.0000    5.0000
   

4. 普通矩阵函数

   funm(A,@fun)对方阵A计算由 fun定义的函数的矩阵函数值。例如，当fun取exp时，funm(A,@exp)可以计算矩阵A的指数，与 expm(A)的计算结果一样。

   >> A = [2,-1;1,0];
   >> funm(A,@exp)
   
   ans =
   
       5.4366   -2.7183
       2.7183         0
   
   >> expm(A)
   
   ans =
   
       5.4366   -2.7183
       2.7183         0
   

   funm函数可以用于 exp、log . sin、cos, sinh和 cosh等函数，但求矩阵的平方根只能用sqrtm函数。