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一元二次方程到规范场

2022-06-23 16:51:00 【小的时候可菜了】

曹则贤开讲“从一元二次方程到规范场论” 中国科学院2022跨年科学演讲第三场全程回顾

一元二次方程式两根推导

$\begin{aligned} &ax^2+bx+c \\ &=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c \\ &=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})+c \\ &=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+\frac{4ac}{4a} \end{aligned}$

移项，得
$a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a} \\ (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \\ x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

二次函数交点式推导

假设其两根为 $x_1$ 、 $x_2$ ，则有
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_1+x_2$ 与 $x_1x_2$ 的结果为
$x_1 + x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a} \\ x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{c}{a}$

$\begin{aligned} &ax^2+bx+c \\ &处理为下列式子，方便之后好用x_1,x_2替代 \\ &=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) \\ &将式中的 \frac{b}{a}、\frac{c}{a}用~x_1、x_2表示 \\ &=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2) \\ &=a[(x-x_1)(x-x_2)] \\ \end{aligned}$

用根自身来表示根

$\begin{aligned} &x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &处理为下列式子，方便之后好用x_1,x_2替代 \\ &=-\frac{1}{2}\frac{b}{a}\pm\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{b}{a})^2-\frac{c}{a}} \\ &将式中的 \frac{b}{a}、\frac{c}{a}用~x_1、x_2表示 \\ &=\frac{1}{2}(x_1+x_2)\pm\sqrt{\frac{1}{4}(x_1+x_2)^2-x_1x_2} \\ \end{aligned}$

一元三次方程

$a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) \\ (a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)$

求解一元三次方程 $x^3+px+q$ ，方法：约化，把一元三次方程约化成一元二次方程
$\begin{aligned} &令x=u^{\frac{1}{3}}+v^{\frac{1}{3}} \\ &x^3+px+q \\ &=u+v+3u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}(u^{\frac{1}{3}}+v^{\frac{1}{3}})+p(u^{\frac{1}{3}}+v^{\frac{1}{3}})+q \\ &=(u+v+q)+(3u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}+p)(u^{\frac{1}{3}}+v^{\frac{1}{3}}) \\ &=(u+v+q)+(3u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}+p)(x) \\ &因此有 \\ &u+v+q=0 \\ &3u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}+p=0 \to u^{\frac{1}{3}}v^{\frac{1}{3}}=-\frac{p}{3} \to uv=-(\frac{p}{3})^3 \to v=-(\frac{p}{3})^3\frac{1}{u} 代入上式 \\ &u+-(\frac{p}{3})^3\frac{1}{u}+q=0 \to u^2+qu-(\frac{p}{3})^3=0(一元三次方程\to一元二次方程) \\ &u=\frac{-q\pm\sqrt{q^2+4(\frac{p}{3})^3}}{2}=-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{p}{3})^3} \\ &v=-q-u=\frac{-q\mp\sqrt{q^2+4(\frac{p}{3})^3}}{2}=-\frac{q}{2}\mp\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{p}{3})^3} \\ &x=(-\frac{q}{2}\pm\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{p}{3})^3})^\frac{1}{3}+(-\frac{q}{2}\mp\sqrt{\frac{q^2}{4}+(\frac{p}{3})^3})^\frac{1}{3} \end{aligned}$

方程根之间的等价性

一个方程若有个多个根，但根未知，则这些根之间都是等价的

比如，一个方程里面有一个根，一个是4，一个是3，许多人很容易误解4大于3，但是就这个方程本身来说，如果3、4都是这个方程的根，是一样的，是等价

代数方程的一般形式： $x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)=0$ ，从该角度来理解到底有多少根的时候，这个方程是有解的

复数的几何意义

有一个长度为 $a$ 的线段，根据一点，将其分为两段，使得 $x(a-x)=\frac{a^2}{2}$ 成立，求 $x$ 的值，也就是点在线段上的位置
$\begin{aligned} &x(a-x)=\frac{a^2}{2} \\ &x^2-ax+\frac{a^2}{2}=0 \\ &x_{1,2}=\frac{a}{2}+(\pm\frac{\sqrt{a^2-2a^2}}{2})=\frac{a}{2}+(\pm\frac{ai}{2}) \end{aligned}$
$x$ 的解当中存在虚数，说明题中要求的将线段分成两截的点不在线段上

法国人比埃(Adrien-Quentin Buée, 1748-1826)认为，这个方程根意味着分割点 $x$ 是在线段的上方或者下方——那个 $i$ 指向垂直方向

复数是一个从一维空间向二维空间扩展的概念

小女孩可能对方向的概念不是那么理解，她妈妈问她：“你现在是在我的左边还是右边？”，小女孩想了想，答道：“旁边”

四元数的引入

复数能够表示我们二维平面里面的转动

比如：在一个坐标轴上， $3\pm1=(2,4)$ 在一条直线上，而 $a \pm i b$ 变成平面的扩展

但有人说，我们生活的空间不是二维而是三维的，所以，是否有一个数，使得能够在二维空间描述的物理同样适应于三维空间？

所以有人想，是否可以把 $a \pm i b$ 这样一个描述二维的数给表示成描述三维的数？

从 $2D\to3D$ ： $\to z=a+bi+cj$ ，其中 $i^2=-1, j^2=-1$

两个相同三元数(三个未知数)的乘积如下
$a+bi+cj)(a+bi+cj)=(a^2-b^2-c^2)+(2ab)i+(2ac)j+bc(ij+ji)$

上式多出来了一项， $b c (i j + j i)$ ，如果令 $i j = 0 或 i j = - j i$ ，可变为三项

数学中的项：基本算术单元，如： $ax^2+bx+c=0(a\not=0)$ 中， $ax^2$ 叫作二次项， $a$ 是二次项系数； $b x$ 叫作一次项， $b$ 是一次项系数； $c$ 叫作常数项

但是，两个任意三元数的乘积，两个任意三元数模平方的乘积，结果都是四项
$a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax-by-cz)^2+(ay+bx)^2+(az+cx)^2+(bz-cy)^2$

哈密顿和他的夫人在沿着爱尔兰运河去开会的路上突然灵光一现，说既然两个三元数乘积永远等于四项，那从一开始就是四项不就完了吗？

于是令： $q = a + b i + c j + d k$ ，其中 $ij=k,ik=j,jk=i,ij=-ji,ik=-ki,jk=-kj,i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

四元数的乘积之后，结果太长，需对其简化，于是提出了一个新的概念

$q = a + b i + c j + d k = r + v$ ， $r$ 为标量， $v = b i + c j + d k$ 为矢量
$\begin{aligned} &(r_1,v_1)+(r_2,v_2)=(r_1+r_2,~~~v_1+v_2) \\ &(r_1,v_1)(r_2,v_2)=(r_1r_2-v_1v2,~~~r_1v_2+r_2v_1+v_1v_2) \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~矢量点乘~~~~~~~~~~~~~~~~~矢量叉乘 \\ &(0,v_1)(0,v_2)=(-v_1v2,~~~v_1v_2) \\ \end{aligned}$
矢量可以有长度、有方向，但是，长度和方向不一定是必须的，也可以没有