【NOI模拟赛】给国与时光鸡（构造）

题面

1s，512mb

给国是个神奇的国家。由于给太祖的治理有方（且发现了给国定理），给国科技光速发展，发明出了时光鸡。给太祖有幸成为第一个食用时光鸡的人。

一开始时光鸡会跳到 $0$ 时刻。然后往后正常走每段时间，当到达 $2n+1$ 时被捉住。但令给太祖没有想到的是，它所经过的时间线因为虫洞的影响被打乱了。具体来说，$i$ 时刻和 $j$ 时刻通过一个虫洞连接。如果时光鸡从 $i-1$ 到了 $i$ 时刻，它会被立即传送到 $j$ 时刻。如果时光鸡从 $j-1$ 到了 $j$ 时刻，它会被立即传送到 $i$ 时刻。

总共有 $n$ 对虫洞连接两个不同的时刻。每个 $1\sim 2n$ 的时刻恰好被一个虫洞连接。由于 $0$ 时刻和 $2n+1$ 时刻没有虫洞，容易证明时光鸡总是能到达 $2n+1$ 时刻。由于时间久远，虫洞已经消失了，只能看到哪段时间上有鸡脚印。

你需要根据给太祖给出的记录还原出一种可行的虫洞匹配方案，或者告诉给太祖记录出错了。

输入格式

第一行两个整数 $n,m$，表示总时刻为 $2n+1$ 以及存在脚印的时间总长。

接下来一行 $m$ 个数，第 $i$ 个数 $a_i$ 表示 $(a_i,a_i+1)$ 这段时间有鸡爪印。

输出格式

如果无解输出 No ，否则先输出一行 Yes ，然后输出 $n$ 行，每行两个数 $x,y$ ，表示 $(x,y)$ 之间有一个虫洞相连。

如果有多种构造方案，输出任意一组即可。

样例输入

3 6
0 1 2 4 5 6

样例输出

Yes
1 5
2 6
3 4

数据范围与提示

$m\le 2n+1,a_{i-1}<a_i,a_1=0,a_m=2n$ ；

$0\le n\le 100000,0\le m\le 200000$ 。

题解

我们令中间空出来的连续段个数为 $A$ ，那么容易证明当 $m-A-1$ 为奇数的时候一定无解，因为你一定会将必走的区间匹配到不可走的区间上。

然后就有两种情况，$(m-A-1)\%4=0$ 和 $(m-A-1)\%4=2$ 。

第一种情况可以构造证明一定有解：

1. 先把每个不可走的极长连续段的两端连起来，这样可走区间中还有 $m-A-1$ 个可以互相匹配。
2. 把这些匹配点按顺序放到一个双端队列上。
3. 每次拿出队列开头的两个元素 $A<B$ ，队尾的两个元素 $C<D$ 。
4. 匹配 $(A,C),(B,D)$ ，这样就会先后经过 $(C,C+1),(B,B+1),$ 队列剩余部分, $(A,A+1),(D,D+1)$ 。
5. 跳回第 3 步，直到队列为空。
   

第二种情况我们发现也是可能有解的，当且仅当存在这么一种结构：

中间一段长度至少为 2 的极长可走区间，两边用不可走区间分隔，左右至少一边存在可匹配的可走区间。

以左边为例，如果左边存在一个可走区间了，就是上图中左边第一个红点，那么我们可以搭这样的结构：

该点与中间区间的左边第一个点匹配，两段不可走区间的两端连一个大拱桥，剩下的可匹配点就有 $m-A-3$ 个了，可以当作 $\%4=0$ 的情况构造。将经过该结构的过程删去，剩下的部分的行走刚好是连续的，容易证明正确性。

CODE

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<random>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
// #pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
#define MAXN 200005
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define ENDL putchar('\n')
#define DB double
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define PR pair<int,int>
int xchar() {
    
	static const int maxn = 1000000;
	static char b[maxn];
	static int pos = 0,len = 0;
	if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,maxn,stdin);
	if(pos == len) return -1;
	return b[pos ++];
}
// #define getchar() xchar()
LL read() {
    
	LL f = 1,x = 0;int s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {
    if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {
    x = (x<<1) + (x<<3) + (s^48);s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
    if(!x)return ;putpos(x/10);putchar((x%10)^48);}
void putnum(LL x) {
    
	if(!x) {
    putchar('0');return ;}
	if(x<0) putchar('-'),x = -x;
	return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {
    putnum(x);putchar(c);}

int n,m,s,o,k;
int a[MAXN],ct;
PR b[MAXN];
bool f[MAXN],aa[MAXN];
deque<int> q;
int main() {
    
	freopen("shuttle.in","r",stdin);
	freopen("shuttle.out","w",stdout);
	n = read(); m = read();
	int cn = 0,flg = 0,l = 0,r = 0;
	for(int i = 1;i <= m;i ++) {
    
		a[i] = read();
		if(i > 1 && a[i] > a[i-1]+1) {
    
			cn ++; aa[a[i]] = 1;
			if(cn > 1 && a[i-1] == a[i-2]+1) flg = 1,r = i-1;
		}
	}
	if((m - cn) % 4 == 1) {
    
		for(int i = 2;i <= m;i ++) {
    
			if(a[i] > a[i-1]+1) {
    
				b[++ ct] = {
    a[i-1]+1,a[i]};
				f[a[i-1]+1] = f[a[i]] = 1;
			}
			else q.push_back(a[i]);
		}
		while(!q.empty()) {
    
			int A,B,C,D;
			A = q.front(); q.pop_front();
			B = q.front(); q.pop_front();
			D = q.back(); q.pop_back();
			C = q.back(); q.pop_back();
			b[++ ct] = {
    A,C}; b[++ ct] = {
    B,D};
			f[A] = f[B] = f[C] = f[D] = 1;
		}
		int p = 0;
		for(int i = 1;i <= (n<<1);i ++) {
    
			if(!f[i]) {
    
				if(p) b[++ ct] = {
    p,i},p = 0;
				else p = i;
			}
		}
		sort(b + 1,b + 1 + ct);
		printf("Yes\n");
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
    
			AIput(b[i].FI,' ');
			AIput(b[i].SE,'\n');
		}
		return 0;
	}
	if((m - cn) % 4 == 3 && flg) {
    
		l = r-1;
		while(!aa[a[l]]) l --;
		int p1,p2;
		p1 = a[l-1]+1; p2 = a[r+1];
		b[++ ct] = {
    p1,p2}; f[p1] = f[p2] = 1;
		p1 = a[l]; p2 = a[r]+1;
		b[++ ct] = {
    p1,p2}; f[p1] = f[p2] = 1;
		int ll = l-1,rr = r+2;
		while(aa[a[ll]]) ll --;
		while(aa[a[rr]] && rr <= m) rr ++;
		if(ll > 1) {
    
			p1 = a[ll]; p2 = a[l+1];
			b[++ ct] = {
    p1,p2}; f[p1] = f[p2] = 1;
		}
		else if(rr <= m) {
    
			p1 = a[r]; p2 = a[rr];
			b[++ ct] = {
    p1,p2}; f[p1] = f[p2] = 1;
		}
		else return printf("No\n"),0;
		for(int i = 2;i <= m;i ++) {
    
			if(a[i] > a[i-1]+1) {
    
				if(i != l && i != r+1) {
    
					b[++ ct] = {
    a[i-1]+1,a[i]};
					f[a[i-1]+1] = f[a[i]] = 1;
				}
			}
			else if(!f[a[i]]) {
    
				q.push_back(a[i]);
			}
		}
		while(!q.empty()) {
    
			int A,B,C,D;
			A = q.front(); q.pop_front();
			B = q.front(); q.pop_front();
			D = q.back(); q.pop_back();
			C = q.back(); q.pop_back();
			b[++ ct] = {
    A,C}; b[++ ct] = {
    B,D};
			f[A] = f[B] = f[C] = f[D] = 1;
		}
		int p = 0;
		for(int i = 1;i <= (n<<1);i ++) {
    
			if(!f[i]) {
    
				if(p) b[++ ct] = {
    p,i},p = 0;
				else p = i;
			}
		}
		sort(b + 1,b + 1 + ct);
		printf("Yes\n");
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
    
			AIput(b[i].FI,' ');
			AIput(b[i].SE,'\n');
		}
		return 0;
	}
	printf("No\n");
	return 0;
}