【面试高频题】难度 1.5/5，LCS 模板题

题目描述

这是 LeetCode 上的 「1143. 最长公共子序列」 ，难度为 「中等」。

Tag : 「最长公共子序列」、「LCS」、「序列 DP」

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

• 例如， "ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 

输出：3  

解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

输入：text1 = "abc", text2 = "abc"

输出：3

解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

输入：text1 = "abc", text2 = "def"

输出：0

解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

• text1 和  text2 仅由小写英文字符组成。

动态规划（空格技巧）

这是一道「最长公共子序列（LCS）」的裸题。

对于这类题的都使用如下「状态定义」即可：

代表考虑 的前 个字符、考虑 的前 的字符，形成的最长公共子序列长度。

当有了「状态定义」之后，基本上「转移方程」就是呼之欲出：

• s1[i]==s2[j] : 。代表 「必然使用 与 时」 LCS 的长度。
• s1[i]!=s2[j] : 。代表 「必然不使用 （但可能使用）时」 和 「必然不使用 （但可能使用）时」 LCS 的长度。

一些编码细节：

通常我会习惯性往字符串头部追加一个空格，以减少边界判断（使下标从 1 开始，并很容易构造出可滚动的「有效值」）。

Java 代码：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
        int n = s1.length(), m = s2.length();
        s1 = " " + s1; s2 = " " + s2;
        char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();
        int[][] f = new int[n + 1][m + 1]; 

        // 因为有了追加的空格，我们有了显然的初始化值（以下两种初始化方式均可）
        // for (int i = 0; i <= n; i++) Arrays.fill(f[i], 1);
        for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (cs1[i] == cs2[j]) {
                    f[i][j] = f[i -1][j - 1] + 1;
                } else {
                    f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        // 减去最开始追加的空格
        return f[n][m] - 1;
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string s1, string s2) {
        int n = s1.size(), m = s2.size();
        s1 = " " + s1, s2 = " " + s2;
        int f[n+1][m+1];
        memset(f, 0, sizeof(f));

        for(int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
        for(int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1;

        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
                if(s1[i] == s2[j]) {
                    f[i][j] = max(f[i-1][j-1] + 1, max(f[i-1][j], f[i][j-1]));
                } else {
                    f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return f[n][m] - 1;
    }
};

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

动态规划（利用偏移）

上述「追加空格」的做法是我比较习惯的做法

事实上，我们也可以通过修改「状态定义」来实现递推：

代表考虑 的前 个字符、考虑 的前 的字符，形成的最长公共子序列长度。

那么最终的 就是我们的答案， 当做无效值，不处理即可。

• s1[i-1]==s2[j-1] : 。代表使用 与 形成最长公共子序列的长度。
• s1[i-1]!=s2[j-1] : 。代表不使用 形成最长公共子序列的长度、不使用 形成最长公共子序列的长度。这两种情况中的最大值。

Java 代码：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
        int n = s1.length(), m = s2.length();
        char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray();
        int[][] f = new int[n + 1][m + 1]; 
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) {
                    f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}

Python3 代码：

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        m, n = len(text1), len(text2)
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1])
        return dp[m][n]

C++ 代码：

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m = text1.size(), n = text2.size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1,vector<int>(n + 1,0));
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                if(text1[i - 1] == text2[j - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                else{
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

Golang 代码：

func longestCommonSubsequence(text1 string, text2 string) int {
    m := len(text1)
    n := len(text2)
    dp := make([][]int, m+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, n+1)
    }
    for i := 0; i < m; i++ {
        for j := 0; j < n; j++ {
            if text1[i] == text2[j] {
                dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1
            } else {
                dp[i+1][j+1] = max(dp[i][j+1], dp[i+1][j])
            }
        }
    }
    return dp[m][n]
}
func max(i int, j int) int {
    if i > j {
        return i
    }
    return j
}

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1143 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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