二叉树之_哈夫曼树_哈弗曼编码

哈夫曼树又称最优二叉树

       给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

 

名词解释

路径：在一棵树中，一个结点到另一个结点之间的通路，称为路径。图 1 中，从根结点到结点 a 之间的通路就是一条路径。
路径长度：在一条路径中，每经过一个结点，路径长度都要加 1 。例如在一棵树中，规定根结点所在层数为1层，那么从根结点到第 i 层结点的路径长度为 i - 1 。图 1 中从根结点到结点 c 的路径长度为 3。
结点的权：给每一个结点赋予一个新的数值，被称为这个结点的权。例如，图 1 中结点 a 的权为 7，结点 b 的权为 5。
结点的带权路径长度：指的是从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。例如，图 1 中结点 b 的带权路径长度为 2 * 5 = 10 。

树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带权路径长度之和。通常记作 “WPL” 。例如图 1 中所示的这颗树的带权路径长度为：

WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3

 

哈夫曼树解析:

 

三棵二叉树的带权路径长度为：

（a）WPL=9x2+4x2+5x2+2x2=18+8+10+4=40

（b）WPL=9x1+5x2+4x3+2x3=9+10+12+6=37

（c）WPL=4x1+2x2+5x3+9x3=4+4+15+27=50

其中（b）所示的二叉树的WPL最小，此树是哈夫曼树。由上图可知：由n个带权叶子结点所构成的二叉树中，满二叉树或完全二叉树 不一定是最优二叉树。权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。

 

怎么构建哈夫曼树?

对于给定的有各自权值的 n 个结点，构建哈夫曼树有一个行之有效的办法：

1. 在 n 个权值中选出两个最小的权值，对应的两个结点组成一个新的二叉树，且新二叉树的根结点的权值为左右孩子权值的和；
2. 在原有的 n 个权值中删除那两个最小的权值，同时将新的权值加入到 n–2 个权值的行列中，以此类推；
3. 重复 1 和 2 ，直到所以的结点构建成了一棵二叉树为止，这棵树就是哈夫曼树。

哈夫曼编码

简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：

 

虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：

 

再依次建立哈夫曼树，如下图：

 

其中各个权值替换对应的字符即为下图：

 

所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010
霍夫曼编码是一种无前缀编码。解码时不会混淆。其主要应用在数据压缩，加密解密等场合。

如果考虑到进一步节省存储空间，就应该将出现概率大（占比多）的字符用尽量少的0-1进行编码，也就是更靠近根（节点少），这也就是最优二叉树-哈夫曼树。
为什么？-----> 权值大的在上层，权值小的在下层。满足出现频率高的码长短。

 

哈夫曼编码的带权路径权值：叶子节点的值 * 叶子节点的高度（根节点为0）

上图的带权路径长度为：（3+4+5）*2+（1+2）*3=33

 

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