Matlab基础（2）——向量与多项式

向量是由 $n$个数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$组成的有序数组，记成 $a=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$或 $a^T=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，叫做 $n$维向量，向量 $a$的第 $i$个分量称为 $a_i$。

向量生成与引用

向量生成

1. 直接输入

   向量用[]扩起来，元素之间用,或空格隔开，;则相当于换行

2. 冒号法 t = 区间左端点 : 增量 : 区间右端点;

   t = first:increment:last;
   % first     - 从first开始（闭区间）
   % last      - 到last为止（闭区间）
   % increment - 增量，默认为1
   t = 0:2:10;  % [0 2 4 6 8 10]
   t = 0:5;     % [0 1 2 3 4 5]
   t = 10:-2:0; % [10 8 6 4 2 0]
   

3. 利用函数linspace(区间左端点, 区间右端点, 个数)

   linspace(first_value, last_value, number);
   % 在指定范围内等间隔采样
   % first_value - 从first_value开始（闭区间）
   % last_value  - 到last_value结束（闭区间）
   % number      - 包含number个元素
   x = linspace(0,10,5);  % [0 2.5 5 7.5 10]
   

4. 利用函数logspace(区间左端点, 区间右端点, 个数)

   logspace(first_value, last_value, number);
   % 在指定范围内等间隔采样，但区间取10的幂
   % first_value - 从10^first_value开始（闭区间）
   % last_value  - 到10^last_value结束（闭区间）
   % number      - 包含number个元素
   x = logspace(1,3,3);  % [10 100 1000]
   

可以同时采用多种方法创建向量，并使用[]将它们合并

x = [2:4 4,5,6 linspace(10,20,2)]; 
% (2 3 4) (4 5 6) (10 20)

向量引用

格式	说明
x(index)	表示向量中的第$index$个元素
x(i:j)	表示向量中的第$i$到第$j$个元素
x(i:delta:j)	表示向量中的第$i$到第$j$个元素，每$delta$个取一个值

• 向量的索引从1开始

• 可以用另一个向量$n$作为索引，去访问向量$x$，向量$n$只能包含正整数，且不能超过$x$的索引范围

  x = 1:2:20;
  n1 = [1,4,9,7];
  n2 = 2:3:10;  % [2,5,8]
  x(n1)  % [1 7 17 13]
  x(n2)  % [3 9 15]
  

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向量运算

四则运算

相当于对向量中的元素分别进行四则运算

x = 2:2:10; % [2 4 6 8 10]
x+1  % [3 5 7 9 11]
x-1  % [1 3 5 7 9]
x*2  % [4 8 12 16 20]
x/2  % [1 2 3 4 5]

矩阵运算

向量可以看做特殊的矩阵，可以用矩阵运算的规则进行向量运算

x = 2:2:10; % [2 4 6 8 10]
y = 1:5; % [1 2 3 4 5]
x+y  % [3 6 9 12 15]
x-y  % [1 2 3 4 5]
x.*y % [2 8 18 32 50] 按位乘
x./y % [2 2 2 2 2] 按位除
x*y' % 110 矩阵乘法

点积（数量积、内积）

向量$a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$和$b=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$的点积定义为
$$a\cdot b=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$
其中，向量$a$和向量$b$必须长度相同。

dot(a,b);
sum(a.*b);
sum(a*b');

向量积（外积、叉积、叉乘）

向量$a=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$和$b=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$的向量积模长为
$$|a\times b|=|a|\cdot |b|\cdot sin<a,b>$$
其方向与向量$a$和$b$所在平面垂直，且遵循右手定则。

cross(a,b);  % 返回a和b的叉积，此时a和b必须是3维的向量
% 计算其他维度叉积可以通过help cross查看对应方法
x = [1,0,0];
y = [0,1,0];
z = cross(x,y);  % z = [0,0,1]

ps. 点积的结果是一个数，向量积的结果是一个同维向量

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多项式表示与创建

在Matlab中，用系数向量表示相应的多项式，以便进行多项式计算：
$$a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}p=[a_0,a_1,\cdots ,a_n]$$
系数中的0不能省略，如$2x^3-x^2+3[2,-1,0,3]$

多项式的创建

使用系数向量p，通过函数poly2sym(p)创建多项式，返回sym类型多项式

s = poly2sym([1,2,1]);  % x^2 + 2*x + 1

使用根向量root，通过函数poly(root)创建多项式，返回系数向量

root = [1 2];
p = poly(root);  % [1 -3 2]
poly2sym(p)  % x^2 - 3*x + 2

也可以编写字符串str，再通过eval(str)函数将其转换为sym类型。

sym类型表示“符号表达式”，也可以直接用于计算，后续的章节中包含相关内容。

多项式运算

多项式运算通过系数向量进行。

加减运算直接用+-实现，相加、相减的两个向量必须大小相等。

多项式乘法

相当于执行两个数组的卷积，用函数conv(p1,p2)实现，返回结果多项式的系数向量

p1 = [1 2 1];
p2 = [1 2 1];
conv(p1,p2)  % [1 4 6 4 1]

多项式除法

相当于执行两个数组的解卷，用函数deconv(p,q)实现，返回结果多项式的系数向量

[k, r] = deconv(p, q);
% k - p除以q的商
% r - p除以q的余式
% p = conv(q, k) + r;

p1 = [1 2 1];
p2 = [1 2 1];
p = conv(p1,p2);  % [1 4 6 4 1]
deconv(p, p1)  % [1 2 1]

多项式求导

通过函数polyder(p)实现，返回结果多项式的系数向量

p = [1 1 1 1 1];
polyder(p)  % [4 3 2 1]