20211108 A转置乘A是正定矩阵吗？A转置乘A是正定矩阵的充分必要条件是什么？

结论1：$A^{T}A$不一定是正定矩阵，但一定是半正定矩阵（即特征值一定大于等于0）。

证明：
对于任意非零 $x\in \mathbb{R}$，存在
$$x^T{A}^{T}Ax={(Ax)}^{T}Ax⩾0$$如果非零矢量$x$处于$A$的零空间，那么${(Ax)}^{T}Ax=0$，否则${(Ax)}^{T}Ax>0$，另外$A^{T}A$ 一定是对称的。因此$A^{T}A$ 不一定是正定矩阵，但一定是半正定矩阵（正定矩阵要求对于任意非零 $x$ 都满足二次型大于0）。

结论2：$A^{T}A$是正定矩阵的充分必要条件是$A$ 满足列满秩。

证明：
如果$A$ 满足列满秩，那么$Ax=0$的解只有$x=0$，也就是说对于任意非零 $x\in \mathbb{R}$，$Ax\ne 0$，那么${(Ax)}^{T}Ax\ne 0=x^T{A}^{T}Ax$，即 $A^{T}A$ 是正定矩阵，正定矩阵一定可逆。反着可以推回去。

结论3：行满秩矩阵乘以列满秩矩阵，得不到满秩矩阵。例如：$[10]\ast [01{]}^{\top }=0$。

结论4：如果$\mathbf{B}$是半正定，给定$\delta >0$，$(\delta \mathbf{I}+\mathbf{B}{)}^{-1}$ 是正定的, $(\delta \mathbf{I}+\mathbf{B}{)}^{-1}$一定存在。

证明：
如果$\mathbf{B}$是半正定，令$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^T\mathbf{P}$，P为半正定。

结论4：如果$A$是行满秩，$B$是列满秩，那么一定存在$K$使得$AKB$的特征值均正（不一定是正定矩阵）。

证明：取$K$为$A^T{B}^T$，则$AKB=A{A}^T{B}^{T}B$。其中，根据结论2，$A{A}^T$和$B^{T}B$均为正定矩阵，两个正定矩阵相乘，根据20211130 正定矩阵的几个不等式的结论4，特征值一定均正，但是不一定是正定矩阵。