2021上海市赛-D-卡特兰数变种,dp

题目大意:

给你$n$个数,让你分成两排长度为n/2的数组$a_i,b_i$.然后使得两个数组有序且$a_i\le b_i$.
$n\le 5e3$

题目思路:

如果数两两不同的话,就是一个卡特兰数.数有重复，需要dp计算。

先考虑如何$dp$的求两两不同的情况:
将其转化为括号序列。第一排看成左括号的下标,第二排看出右括号的下标。
任意一个前缀状态中左括号的数量不得少于右括号的数量.

这样$dp(i,j)$为前i个数,左括号比右括号多j个的方案数.

考虑相同的情况:只需要按数的种类从小到大枚举。再多枚举一个 <上面放几个该数>。转移的时候再乘上一个阶乘即可。

因为这么放,两种放法一定对应不同的该数的分布，所以分步乘法，乘上阶乘即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define vi vector<int>
#define vll vector<ll>
#define fi first
#define se second
const int maxn = 5e3 + 5;
const int mod = 998244353;
int a[maxn];
ll dp[maxn][maxn] , f[maxn];
unordered_map<int,int> s;
int main()
{
    
    f[0] = 1;
    for (int i = 1 ; i < maxn ; i++)
        f[i] = f[i - 1] * i % mod;
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
    
        cin >> a[i];
        s[a[i]]++;
    }
    sort(a + 1 , a + 1 + n);
    int m = unique(a + 1 , a + 1 + n) - a - 1;
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1 ; i <= m ; i++){
    
        for (int j = 0 ; j <= n ; j++){
    
            int num = s[a[i]];
            for (int k = 0 ; k <= num ; k++){
    
                int l = j - 2 * k + num;
                if (l < 0) continue;
                dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][l] * f[num] % mod) % mod;
            }
        }
    }
    cout << dp[m][0] << endl;
    return 0;
}