微商的差商近似

有限差分法是用变量离散的、含有有限个未知数的差分方程近似替代连续变量的微分方程，因此首要任务是构建合理的差分格式，使解能够保持原问题的性质，并且具有相当的精度。

为了表明精确度，下面用一元函数做例子，令

$$y=f(x)$$
在x轴上按h为间隔取点，f(xi+1)可以用Taylor级数表示为：
$$f(x_{i+1})=f(x_i)+\frac{h}{1!}\frac{\partial f(x)}{\partial x}{|}_{x=x_i}+\frac{h^2}{2!}\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^2}{|}_{x=x_i}+...$$
$$f(x_{i-1})=f(x_i)-\frac{h}{1!}\frac{\partial f(x)}{\partial x}{|}_{x=x_i}-\frac{h^2}{2!}\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^2}{|}_{x=x_i}-...$$
由此可得：
$$\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}{|}_{x=x_i}+\frac{h}{2!}\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^2}{|}_{x=x_i}+..=\frac{\partial f(x)}{\partial x}{|}_{x=x_i}+O(h)$$
$$\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}{|}_{x=x_i}-\frac{h}{2!}\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^2}{|}_{x=x_i}-..=\frac{\partial f(x)}{\partial x}{|}_{x=x_i}-O(h)$$
$$\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}（1）$$
$$\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}（2）$$
（1）式叫前向差商，（2）式叫后向差商。
$$\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}{|}_{x=x_i}+\frac{h^2}{3!}\frac{{\partial }^{3}f(x)}{\partial x^3}{|}_{x=x_i}+\frac{h^4}{5!}\frac{{\partial }^{5}f(x)}{\partial x^5}{|}_{x=x_i}+..=\frac{\partial f(x)}{\partial x}{|}_{x=x_i}+O(h^2)$$
$$\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}（3）$$
（3）式叫做中心差商，这个是微商的二阶近似。