概率函数P(x)、概率分布函数F(x)与概率密度函数f(x)的区别

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本文主要内容转载至博主马尔代夫Maldives的简书概率函数P(x)、概率分布函数F(x)、概率密度函数f(x)

1. 离散型变量和连续型变量

进入主题前，先明确几个概念：
离散型变量（或取值个数有限的变量）：取值可一一列举，且总数是确定的，如投骰子出现的点数（1点、2点、3点、4点、5点、6点）。
连续型变量（或取值个数无限的变量）：取值无法一一列举，且总数是不确定的，如所有的自然数（0、1、2、3……）。

离散型变量取某个值xi的概率P(xi)是个确定的值（虽然很多时候我们不知道这个值是多少），即P(xi)≠0：例如，投一次骰子出现2点的概率是P(2)=1/6。

连续型变量取某个值xi的概率P(xi)=0：对于连续型变量而言，“取某个具体值的概率”的说法是无意义的，因为取任何单个值的概率都等于0，只能说“取值落在某个区间内的概率”，或“取值落在某个值邻域内的概率”，即只能说P(a<xi≤b)，而不能说P(xi)。 为什么是这样？且看下例：
  例如，从所有自然数中任取一个数，问这个数等于5的概率是多少？从所有的自然数中取一个，当然是有可能取到5的，但是自然数有无穷多个，因此取到5的概率是1/∞，也就是0。
  又如扔飞镖，虽然是有可能落在靶心的，但其概率也是0（不考虑熟练程度等其他因素），因为靶盘上有无数个点，每个点的概率是一样的，因此落在某一个具体的点上的概率为1/∞=0。

根据前面的例子可知：在连续型变量中：概率为0的事件是有可能发生的，概率为1的事件不一定必然发生。

2. 概率分布与概率函数

概率分布:指给出了所有取值及其对应的概率（少一个也不行），只对离散型变量有意义。例如：

概率分布

概率函数：用函数形式给出每个取值发生的概率，P(x)（x=x1，x2，x3，……），只对离散型变量有意义，实际上是对概率分布的数学描述。

3. 概率分布函数与概率函数函数

概率分布和概率函数只对离散型变量有意义，那如何描述连续型变量呢？
答案就是“概率分布函数F(x)”和“概率密度函数f(x)”，当然这两者也是可以描述离散型变量的。

概率分布函数F(x)：给出取值小于某个值的概率，是概率的累加形式，即：
F(xi)=P(x<xi)=sum(P(x1),P(x2),……,P(xi))（对于离散型变量）或求积分（对于连续型变量，见后图）。
概率分布函数F(x)的性质：

概率分布函数性质

概率分布函数F(x)的作用：如下图
（1）给出x落在某区间(a,b]内的概率：P(a<x≤b)=F(b)-F(a)
（2）根据F(x)的斜率判断“区间概率”P(A<x≤B)的变化（实际上就是后面要说的概率密度函数f(x)）（特别注意：是判断“区间概率”，即x落在(A,B]中的概率，而不是x取某个确定值的概率，这是连续型变量和离散型变量的本质区别）
  某区间(A,B]内，F(x)越倾斜，表示x落在该区间内的概率P(A<x≤B) 越大。如图中(a,b]区间内F(x)的斜率最大，如果将整个取值区间以δx=b-a的间隔等距分开，则x落在(a,b]内的概率最大。为什么？因为P(A<x≤B) )=F(B)-F(A)，所有区间中只有在(a,b]这个区间上（即A=a，B=b）F(B)-F(A)达到最大值，也就是图中竖向红色线段最长。

概率分布函数解析

概率密度函数f(x)：给出了变量落在某值xi邻域内（或者某个区间内）的概率变化快慢，概率密度函数的值不是概率，而是概率的变化率，概率密度函数下面的面积才是概率。

概率密度函数定义

概率密度函数性质  概率分布函数和概率密度函数之间的关系

注意

约定

4. 连续型变量的概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系

连续型变量的概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系（以正态分布为例）如下图：
  对于正态分布而言，x落在u附近的概率最大，而F(x)是概率的累加和，因此在u附近F(x)的递增变化最快，即F(x)曲线在（u，F(u)）这一点的切线的斜率最大，这个斜率就等于f(u)。x落在a和b之间的概率为F(b)-F(a)（图中的红色小线段），而在概率密度曲线中则是f(x)与ab围成的面积S。如下图所示：

概率、概率分布函数、概率密度函数之间的关系

概率密度函数在某点a的值f(a)的物理意义到底是什么？
我们知道f(a)表示，概率分布函数F(x)在a点的变化率(或导数)；其物理意义实际上就是x落在a点附近的无穷小邻域内的概率，但不是落在a点的概率（前已述及，连续变量单点概率=0），用数学语言描述就是：

关系