动态规划——416. 分割等和子集

1 题目描述

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

2 题目示例

示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5]
输出：false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/partition-equal-subset-sum

3 题目提示

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 100

4 思路

本体思路来源代码随想录
链接：https://programmercarl.com/0416.%E5%88%86%E5%89%B2%E7%AD%89%E5%92%8C%E5%AD%90%E9%9B%86.html#_01%E8%83%8C%E5%8C%85%E9%97%AE%E9%A2%98
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。

要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。

即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。

要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。

回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。

那么来一一对应一下本题，看看背包问题如果来解决。

只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。

背包的体积为sum / 2
背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
背包中每一个元素是不可重复放入。

以上分析完，我们就可以套用01背包，来解决这个问题了。
动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   01背包中，dp[j] 表示： 容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
   套到本题，dp[j]表示 背包总容量是j，最大可以凑成j的子集总和为dp[j]。
2. 确定递推公式
   01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
   本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
   所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3. dp数组如何初始化
   在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
   从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
   如果如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
   这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
   本题题目中 只包含正整数的非空数组，所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
4. 确定遍历顺序
   在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中就已经说明：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
5. 举例推导dp数组
   dp[j]的数值一定是小于等于j的。
   如果dp[j] == j 说明，集合中的子集总和正好可以凑成总和j，理解这一点很重要。

5 我的答案

class Solution {
    
    public boolean canPartition(int[] nums) {
    
        if(nums == null || nums.length == 0) return false;
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for(int num : nums){
    
            sum += num;
        }
        //总和为奇数，不能平分
        if(sum % 2 != 0) return false;
        int target = sum / 2;
        int[] dp = new int[target + 1];
        for(int i = 0; i < n; i++){
    
            for(int j = target; j >= nums[i]; j--){
    
                //物品 i 的重量是 nums[i]，其价值也是 nums[i]
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);
            }
        }
        return dp[target] == target;
    }
}