码蹄集 - MT3149 · AND - 数据不是很强，暴力剪枝就能骗AC

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AND

• AND.

时间限制：1秒
空间限制：64M

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题目描述

给出一个长n的数列a，设$p_{i,j}=a_i$ and $a_{i+1}$ and ……and $a_j$，
求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=i}^n{p}_{i,j}$
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输入描述

第一行一个整数n，表示数列长度。

第二行n个整数表示数列a。

数据范围

数据范围

$1\le n\le 100000,0\le a_i\le 10^9$

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输出描述

一个整数表示答案。

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样例一

输入

5
5 8 4 5 6

输出

40

前言

这道题数据比较弱，我本来想着先暴力一发看看能过多少组，结果纯暴力就过了$7$组。

然后我就想看看加上剪枝能过多少，结果就AC了。

然后我也就没有再多想更低复杂度的方法。

本篇博客所采用方法复杂度是$O(n^2)$，截止到2022年6月30日18:38分均可通过本题。

不知道以后是否会有新的测试数据。

题目分析

首先让我们想想如何暴力。最初的暴力复杂度是$O(n^3)$：

从1到n枚举i
    从i到n枚举j
        从i AND 到j

但是很容易想到，在$j$从$i$枚举到$n$的时候，新的结果可在旧的结果的基础上用$O(1)$的时间复杂度求出。

用专业点的语言来讲，就是：

在已知$p_{i,j}$的前提下，可以用$O(1)$的时间复杂度求出$p_{i,j+1}$

其公式为： $p_{i,j+1}=p_{i,j}\&a[j+1]$

这样，时间复杂度就将为了$O(n^2)$

int a[100010];

int main() {
    
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
        ll k = a[i];
        for (int j = i; j < n; j++) {
    
            k &= a[j];  // p{i,j+1}=p{i,j} & a[j+1]
            ans += k;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

这样就已经可以通过$3$组数据了。

剪枝

不难发现，如果$p_{i,j}=0$，那么$p_{i,j+1}$、$p_{i,j+2}$、$\cdots$、$p_{i,n}$全部为$0$

因为$0AND任何数都为0$ 。

因此上述代码中在$k=0$的时候，我们直接$break$即可。

我就这么一试，就AC了。

但是看官请注意，但凡有一组全部是$1$的$1e5$的数据，上述方法就通过不了

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
int a[100010];

int main() {
    
    int n;
    cin >> n;
    fi (i, 0, n)  // for (int i = 0; i < n; i++)
        cd(a[i]);  // scanf a[i]
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
        ll k = a[i];
        for (int j = i; j < n; j++) {
    
            k &= a[j];
            if (!k)
                break;  // 剪枝
            ans += k;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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