辛普森悖论

在统计学中有一个挺神奇的悖论，称为辛普森悖论（Simple’s Paradox）。

简单来说，就是“在分组比较中都占优势的一方，在总评的时候有时反而是失势的一方。”

本文试图通过交互式的可视化方法，对它进行解释。

并且试图说明这种矛盾的情况并不是很偏僻的角落，甚至在合适的构造方法下，这种矛盾总能发生。

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  • 可交互的图表解释

辛普森悖论

这是一个严肃的统计学问题，详细的论述可见

Simpson’s Paradox (Stanford Encyclopedia of Philosophy)^[1]

Simpson’s Paradox (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

可交互的图表解释

本文的代码可见我的 OBSERVABLE 代码本

Interactive Simpson's Paradox^[2]

Simpson’s Paradox

原始数据以 OA 和 AB 的形式获得。线段的斜率是指精度，比例等。因此，OB 的斜率是指整体精度。

通常情况下，我们希望斜率越大越好。

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在红色三角存在的情况下，很容易获得斜率大于OA的“更好”的OC方法。之后，总是可以做CD与AB平行。这时不难发现，CD 的斜率与 AB 相等。

这时总可以找到比 CD 更好的 CE，只要满足 CE 大于 CD 即可。

这时，射线 CE 与 OB 总有交点，在 C 点与该交点之间的线段上任取一点 O‘，这显然就是一个比OB更糟糕的OO'。

但是考虑到 OO’ 是由 OC 和 CE 生成的，然而从斜率来讲，

• OC 优于 OA
• CE 优于 AB
• 但 OO’ 劣于 OB

这就是辛普森悖论。

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有意思的是，我前面的推导是从红色三角形 OAB 开始，只要这个三角形存在，就一定能够推出悖论的存在区间 OCO’。

也就是说，无论分组比较的分组情况如何，我们总能“生成”一组新的数据，来“导致”悖论的发生。

这就说明辛普森悖论并不是某个犄角旮旯的特殊情况，而是只要有分组比较，就可能出现的“一般情况”。

参考资料

[1]

Simpson’s Paradox (Stanford Encyclopedia of Philosophy): https://plato.stanford.edu/entries/paradox-simpson/#:~:text=Simpson%E2%80%99s%20Paradox%20is%20a%20statistical%20phenomenon%20where%20an,independent%20or%20even%20negatively%20associated%20in%20all%20subpopulations.

[2]

Interactive Simpson's Paradox: https://observablehq.com/@listenzcc/interactive-simpsons-paradox