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实数范围内的求模（求余）运算：负数求余究竟怎么求

2022-07-26 22:36:00 【叁弟】

背景
最近在一道 Java 习题中，看到这样的一道题：

What is the output when this statement executed:
System.out.printf(-7 % 3);

正整数的取余运算大家都很熟悉，但是对于负数、实数的取余运算，确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现，这里面还是颇有一点可以探索的东西的。

探究
首先，看看自然数的取模运算（定义1）:

如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。

那么对于负数，是否可以沿用这样的定义呢？我们发现，假如我们按照正数求余的规则求 (-7) mod 3 的结果，就可以表示 -7 为 (-3)* 3 +2。其中，2是余数，-3是商。

那么，各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢？下面是几种软件中对此的理解。

语言	语句	输出
C++（G++ 编译）	cout << (-7) % 3;	-1
Java（1.6）	System.out.println((-7) % 3);	-1
Python 2.6	(-7) % 3	2
百度计算器	(-7) mod 3	2
Google 计算器	(-7) mod 3	2

可以看到，结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所接受，大家大多认可的是下面的这个定义2。

如果a 与d 是整数，d 非零，那么余数 r 满足这样的关系：
a = qd + r , q 为整数，且0 ≤ |r| < |d|。

可以看到，这个定义导致了有负数的求余并不是我们想象的那么简单，比如，-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正确的结果，因为这两个数都符合定义。这种情况下，对于取模运算，可能有两个数都可以符合要求。我们把 -1 和 2 分别叫做正余数和负余数。通常，当除以d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么有

r1 = r2 + d

对负数余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。

看完了 (-7) mod 3，下面我们来看一看 7 mod (-3) 的情况（看清楚，前面是 7 带负号，现在是 3 带负号）。根据定义2，7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2，所以余数为 1 或 -2。

语言	语句	输出
C++（G++ 编译）	cout << 7 % (-3);	1
Java（1.6）	System.out.println(7 % (-3));	1
Python 2.6	7 % (-3)	-2
百度计算器	7 mod (-3)	-2
Google 计算器	7 mod (-3)	-2

从中我们看到几个很有意思的现象：

Java 紧随 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步调一致。难道真是物以类聚？联想一下，Google 一直支持 Python，Python 也颇有 Web 特色的感觉，而且 Google Application Engine 也用的 Python，国内的搜索引擎也不约而同地按照 Google 的定义进行运算。
可以推断，C++ 和 Java 通常会尽量让商更大一些。比如在 (-7) mod 3中，他们以 -2 为商，余数为 -1。在 Python 和 Google 计算器中，尽量让商更小，所以以 -3 为商。在 7 mod (-3) 中效果相同：C++ 选择了 3 作为商，Python 选择了 2 作为商。但是在正整数运算中，所有语言和计算器都遵循了尽量让商小的原则，因此 7 mod 3 结果为 1 不存在争议，不会有人说它的余数是-2。
如果按照第二点的推断，我们测试一下 (-7) mod (-3)，结果应该是前一组语言（C++，Java）返回 2，后一组返回 -1。（请注意这只是假设）。

于是我做了实际测试：

语言	语句	输出
C++（G++ 编译）	cout << -7 % (-3);	-1
Java（1.6）	System.out.println(-7 % (-3));	-1
Python 2.6	-7 % (-3)	-1
百度计算器	-7 mod (-3)	-1
Google 计算器	-7 mod (-3)	-1