层次分析法(AHP)

目录

1.确定评价指标、构建评价体系

2.得到判断矩阵

3. 层次单排序和一致性检验

（1）层次单排序(计算权重)

① 和积法(算术平均法)

（2）一致性检验

4. 汇总结果得到权重矩阵

 5. 计算各方案的得分

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层次分析法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。

层次分析法将一个复杂的目标决策问题(比如去哪旅游)作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，通过定性指标进行相关计算，以作为多方案优化决策依据的系统方法。

简单来说就是 将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

例题：

1.确定评价指标、构建评价体系

 解决评价类问题，需要想到以下三个问题：

1.我们评价的目标是什么？

2. 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？

3. 评价的准则或者说指标是什么？（根据什么东西来评价好坏）

以例题回答：

—般而言，前两个问题的答案是显而易见的，根据题目就能得出。

第三个问题的答案(即选取评价指标建立评价体系)：

1.需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

2.如果找不到相关文献，就自己有依据地确定。

然后分析系统中各因素之间的关系，建立系统的评价体系：

2.得到判断矩阵

确定了准则层的n个因素(指标)，C={c1,c2,c3,...,cn}，比如景色、花费、环境、饮食、交通

要比较它们对目标的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。

综合各因素比较存在难度，所以先进行两两指标之间的比较。

用表示因素相对于因素的比较结果，则

A就是一个判断矩阵

如何填写判断矩阵里的数值，用下面的1-9标度方法：

 举个例子：

填写判断矩阵，也就是把下表填写完整

        

 填好这张表实际上就得到了判断矩阵，一般也叫正互反矩阵。

 对每一个准则都填写判断矩阵：

每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角） 

3. 层次单排序和一致性检验

（1）层次单排序(计算权重)

对于专家填写后的判断矩阵，利用一定数学方法进行层次排序。
层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是计算权重系数。

计算权重系数的方法：

①和积法(也叫算术平均法)

②几何平均法

③特征值法

① 和积法(算术平均法)

1) 将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：

  j指的是列

比如：

2) 将归一化的判断矩阵按行相加：

比如：

3) 对向量归一化

比如：

 所得的w=(1.1176,0.5175,0.0611,0.3038）即为所求得的特征向量，亦即判断矩阵的层次单排序结果(即权重系数)

（2）一致性检验

得到判断矩阵后要进行一致性检验，为什么要进行一致性检验？

因为判断矩阵中的数值可能出现矛盾的地方，如下

 所以要进行一致性检验。

一致矩阵

若矩阵中每个元素aij >0且满足，则我们称该矩阵为正互反矩阵。

在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。

若正互反矩阵满足，则我们称其为一致矩阵。

 一致性检验的步骤：

第一步：计算一致性指标CI

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

        平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏1986年得出的1—15阶判断矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标如下:

 RI只需要会查这个表就行

第三步：计算一致性比例CR

如果CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

一致性检验通过后，层次单排序中计算出的权重才能使用。

CR>0.1 如何修正？

往一致矩阵上调整，使一致矩阵各行成倍数关系。

4. 汇总结果得到权重矩阵

 5. 计算各方案的得分

 类似的，我们可以得到北戴河得分为0.245,桂林得分为0.455.
因此最佳的旅游景点是桂林。

参考资料：

1.清风数学建模视频

2.

数学建模：层次分析法实例以及代码_拾牙慧者的博客-CSDN博客_层次分析法代码案例