MBA-day21 线性规划问题

1. 线性规划问题的中心思想-花最少钱办最多的事情

1. 设未知数，列方程
2. 找目标函数

ax+by >= c
mx+ny >= d
->
ax+by=c
mx+ny=d
->
x=p.[]
y=q.[]
->
x=p,x=q+1
y=p,y=q+1

2. 习题

2.1 例题 1

某公司计划运送180台电视和110台洗衣机下乡，现有两种货车，甲种货车每辆最多可载 40 台电视机和 10 台洗衣机，乙种货车每辆最多可载 20 台电视机和20台洗衣机，已知甲乙两种货车的租金分别是每辆400和360元，求最少运费？

答：2600

解：设租甲乙两种货车各a,b辆
1）40a + 20b <= 180
2）10a + 20b <= 110
最少运费=400a+360b的最小值
1）40a + 20b = 180
2）10a + 20b = 110
30a = 70 -> a = 7/3 = 2.333
-> b = 13/3 = 4.3
即 a = 2 , a = 3
即 b = 4,  b = 5
若要运费最少，则
当 a = 2, b = 5 ,这样东西才能全搬完，400a+360b = 2600
当 a = 3, b = 4 ,这样东西才能全搬完，400a+360b = 2640

故最少运费：2600

2.2 例题 2

某地区平均每天产生生活垃圾700吨，由甲乙两个处理厂处理。甲厂每小时可以处理垃圾55吨，所需费用为550元。乙厂每小时处理垃圾45吨，所需费用495元。如果该地区每天的垃圾处理费不能超过7370元，那么甲每天处理的时间至少需要（）小时

答：6小时

解：设甲乙每天处理的时间分别为x, y
55x + 45y = 700
550x + 495y <= 7370
->
55x + 45y = 700
550x + 495y = 7370
->
550x + 450y = 7000
550x + 495y = 7370
45y=370-> 7 = 8.2
x = 6

即 甲每天处理的时间至少需要（6）小时

2.3 例题 3

某高科技企业生产产品A和B需要甲乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5千克，乙材料需要1千克，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5千克，乙材料0.3千克，用3个工时。生产一件产品A的利润为2100，生产一件产品B的利润为900.该企业现有甲材料150千克，乙材料90千克，则在不超过600工时的条件下，生产A，B产品的利润之和的最大值为（）万元
A 20.6
B 18
C 18.9
D 21.6
E 23.6

书本的参考答案为： D

解：设A，B产品的数量为a, b
1）1.5a + 0.5b <= 150 -> 3a + y <= 300
2）1a + 0.3b <= 90 -> 10a + 3b <= 900
3）5a + 3b <= 600
->
1)3a + b = 300 -> 9a + 3b = 900
2)10a + 3b = 900
3)5a + 3b = 600

1）和3) 得到交点：[0, 300]
a = 0, b =300 不满足题意

2)和3) 得到交点：[60, 100]
5a = 300
a - 60, b = 100

1)和3) 得到交点：[75, 75]
4a = 300
a = 75， b = 75

Z = 2100a + 900b
当[60, 100]， Z = 126000 + 90000 = 216000, 即21.6万
当[75, 75], Z = 225000, 即22.5万