【动态规划--买卖股票的最佳时期系列3】

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给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

实例 1：
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2： 
输入：prices = [1,2,3,4,5] 
输出：4 
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4。
      注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
      因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票

示例 3： 
输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为0。

示例 4：
输入：prices = [1]
输出：0

分析
1.确定dp数组以及下标的含义
一天一共就有五个状态：
0.没有操作
1.第一次买入
2.第一次卖出
3.第二次买入
4.第二次卖出
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
2.确定递推公式
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么
dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]
那么dp[i][1]究竟选 dp[i-1][0] - prices[i]，还是dp[i - 1][1]呢？

一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么
dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
所以 dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
3.dp数组如何初始化
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？
首先卖出的操作一定是收获利润，整个股票买卖最差情况也就是没有盈利即全程无操作现金为0，
从递推公式中可以看出每次是取最大值，那么既然是收获利润如果比0还小了就没有必要收获这个利润了。
所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？
第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。
所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
4.确定遍历顺序
从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5.举例推导dp数组
以输入[1,2,3,4,5]为例：

代码如下：

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
class Solution{
    
	public:
		int Maxprofit(vector<int> &prices) {
    
			vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(5));
			dp[0][0] = 0;
			dp[0][1] = -prices[0];
			dp[0][2] = 0;
			dp[0][3] = -prices[0];
			dp[0][4] = 0;
			for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
    
				dp[i][0] = dp[i-1][0];
				dp[i][1] = max(dp[i-1][1],dp[i-1][0] - prices[i]);
				dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1] + prices[i]);
				dp[i][3] = max(dp[i-1][3],dp[i-1][2] - prices[i]);
				dp[i][4] = max(dp[i-1][4],dp[i-1][3] + prices[i]);
			}
			return dp[prices.size()-1][4];
		}
};
int main() {
    
	vector<int> price = {
    3,3,5,0,0,3,1,4};
	Solution Q;
	cout<<Q.Maxprofit(price);
}

问题2
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给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1： 输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2
天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2。

示例 2： 输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3] 输出：7 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2)
的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4。随后，在第 5 天 (股票价格 =
0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3。
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

0 表示不操作
1 第一次买入
2 第一次卖出
3 第二次买入
4 第二次卖出
…
大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1] 选最大的，所以 dp[i][1] =
max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2] 所以dp[i][2] =
max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

代码如下

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
class Solution{
    
	public:
		int maxProfit(int k, vector<int> &price) {
    
			if (price.size() == 0) return 0;
			vector<vector<int>> dp(price.size(),vector<int>(2*k+1));
			for (int j = 1; j < 2 * k; j+= 2) {
    //dp[i][j]:第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]。
				dp[0][j] = -price[0];
			}
			for (int i = 1; i < price.size(); i++) {
    
				for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j+=2) {
    
					dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1],dp[i-1][j] - price[i]);
					dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2],dp[i-1][j+1] + price[i]);
				}
			}
			return dp[price.size()-1][2*k];
		}
};
int main() {
    
	Solution Q;
	int k;
	int n;
	vector<int> prices(n);
	cin>>n;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
    
		cin>>prices[i];
	}
	cin>>k;
    cout<<Q.maxProfit(k,prices);
	
}