2022.05.29

关于矩阵指数的引入

参考资料《Elementary Differential Equaitons with Boundary Value Problems》 第七章

参考资料是MIT 18.03微分方程公开课的参考书。

个人感觉当初在课堂上学习现代控制理论时，对于LTI矩阵微分方程的解的矩阵指数引入显得非常生硬，所以如果我以后有机会站上讲台的话一定会让我的学生对于矩阵形式的微分方程得到一个充分的理解，而为了得到一个充分的理解，矩阵指数的丝滑引入是不可缺少的。我想这本书的第七章给了我们一个很好的例子。
而且这章在讲到这些知识的时候对于线性代数方面的知识做了一个简短却足够充分的回顾，我当时学习现代控制理论的时候，就发现很多同学对于线性代数方面的知识都有所淡忘，而老师又绝口不讲而按教材照本宣科。考研的时候曾经浅尝过几种不同的线性系统理论课程，所相同之处都是会稍微回顾一下需要预备学习的线性代数的知识，特别是对岸那边的清华大学的那门讲线性系统的课（难度大致相当于我们的本科现代控制理论，当然他们也是本科课，印象中好像是叫控制理论(二)，授课老师姓叶，是MIT的博士），股价有花了四五节大课的时间讲线性代数的知识。当然对开胃菜介绍得太详细属于是有点浪费主菜时间了。
如果要按书照本宣科的话，也请选择一本好书。

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正文开始，也不长
这本书大致是这样的引入顺序
向量线性无关 -> 一阶系统的解的线性无关 -> 引入朗斯基矩阵(Wronkian)

接着介绍相关定理
介绍LTI 一阶系统（就是常系数线性一阶微分方程组）的解的求法
再介绍系统特征值在各种不同的情况下，相图(phase portrait)的形状以及平衡点的类型
然后基于线性无关解向量的特性，引入所谓的基本矩阵(Fundemantal Matrices)，然后指出一个特殊的基本矩阵，也就是大家都熟知的$\Phi$

并指出$\Phi$的诸多特性中的最重要特性：$\Phi (t)$能够作为一个变换，将系统的初始条件$\vec{x}(0)$映射到系统的解$\vec{x}(t)$。

到这一步了，再引入矩阵指数$e^{At}$，引入$e^{At}$的定义式，设法证明$e^{At}$满足一些和标量指数函数相似的性质。

而到最关键的一步，最后证明$e^{At}$也能够将系统的初始条件$\vec{x}(0)$映射到系统的解$\vec{x}(t)$。

确认了$e^{At}$和$\Phi (t)$都能满足矩阵微分方程，都能同一初始条件下的解。

再根据线性（）常系数）微分方程解的唯一性定理，得出了$e^{At}$和$\Phi (t)$是同一个东西的结论。

整个过程虽然很长，但却是相当自然的，实际讲解过程中可以让大家多看书嘛，以缩短讲的时间。

还是那句话。

如果要按书照本宣科的话，也请选择一本好书。