A^2=E | 方程的解 | 这个方程究竟能告诉我们什么

若 $A^2=E$

引理一

若 $A^2=E$ 则 $A$ 的特征值只能是 $1$ 或 $-1$

证明：

设 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $\eta$。于是

$$A^2\eta =AA\eta =A\lambda \eta =\lambda A\eta ={\lambda }^2\eta$$

而

$$A^2\eta =E^2\eta =\eta$$

从而

$${\lambda }^2=1$$

引理二

如果 $A^2=E$ 则 $\mathrm{r}(A+E)+\mathrm{r}(A-E)=n$
一些关于秩的不等式

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由引理 一二 知，$A$ 的特征值为 $1$ 或 $-1$，且 $r(A+E)+r(A-E)=n$

由特征向量的知识我们可以知道，特征值 $1$ 对应的特征向量空间的维数等于 $n-r(A-E)$，特征值 $-1$ 对应的特征向量空间的维数等于 $n-r(A+E)$. 因为特征值只有 1 和 -1，所以 $A$ 的线性无关的特征向量的个数为 $n-r(A-E)+n-r(A+E)=n$ 说明 $A$ 可对角化。

所以，存在可逆矩阵 $P$，使得

$$P^{-1}AP=B$$

$B$ 是对角矩阵，对角元由 $1$ 和 $-1$ 组成，共有 $\mathrm{r}(A-E)$ 个 $1$,$\mathrm{r}(A+E)$ 个 $-1$。

所以 $A$ 是可以写作 $PB{P}^{-1}$ 的任意一个矩阵。其中 $B=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(1,1,\cdots ,1,-1,-1,\cdots ,-1)$，$\mathrm{r}(A-E)$ 个 $1$,$\mathrm{r}(A+E)$ 个 $-1$，$P$ 为任意可逆矩阵。

事实上，设 $A=PB{P}^{-1}$，则 $A^2=PB{P}^{-1}PB{P}^{-1}=PBB{P}^{-1}=PE{P}^{-1}=E$

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2022年6月22日19:09:22