张宇高数30讲总结

1 高等数学预备知识

反函数

严格的单调函数必有反函数，原函数与反函数关于y=x对称。

函数的四种特性

1.有界性
m <= f(x) <= M
首先要指明区间
2.单调性

f(x)是单调不减函数----->(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]>=0
f(x)是单调不增函数----->(x₁-x₂)[f(x₁)-f(x₂)]<=0

3.奇偶性

F₁(x)=f(x)-f(-x)必为奇函数
F₂(x)=f(x)+f(-x)必为偶函数
函数关于直线x=T对称的充分必要条件是：
f(x)=f(2T-x)或f(x+T)=f(x-T)

4.周期性

连续的奇函数的一切原函数都是偶函数
连续偶函数的原函数中只有一个原函数是奇函数
f(x)在有限区间(a,b)内可导且导函数有界，则原函数在区间内有界

函数图像

arcsinx+arccosx=π/2

r=a(1-cosΘ)


r=asin3Θ

r=aΘ

r²=2a²cos2Θ

参数法

摆线

x=r(t-sint)
y=r(1-cost)

星形线

x=rcos³t
y=rsin³t

数列

∑k²=(n*(n+1)*(2n+1))/6