当前位置:网站首页>(线段树) 基础线段树常见问题总结
(线段树) 基础线段树常见问题总结
2022-07-31 03:20:00 【天赐细莲】
文章目录
前言
线段树的名声,想必不会写的也听过名字,已成为算法选手的基本技能之一。
线段树的难点不在什么三件套递归的编写,怎么划分mid的左右,怎么动态开点,这些都很模板
真正的难点在于如何根据需求构造和处理pushUp()
和pushDown()
线段树也有很多衍生操作,如珂朵莉树,主席树等等
本文只设计基本的线段树操作,其中带一些动态开点,树链剖分等,但这些不是重点(因为找不到纯模板题),重点的构造的类型
本文重点在于如何确定需求,如何构造pushUp()
和pushDown()
笔者线段树的题刷的比较少,但还是总结出了一些常见构造类型
如:区间加乘,区间覆盖,区间bool标记等
区间求和,区间计数,区间求最值等
完整例题
单点加值 区间求和
例题:洛谷:P3374 【模板】树状数组 1
练习题:
构造目标:
单点加值 区间求和
实现思路:
这种类型是非常基本的线段树,当left和right相同时,就是目标的点,直接累加
然后求和只要将
root<<1
和root<<1|1
两个子树的值的和存储在父节点即可这里再update和query中主要展示两种写法
- 根据mid判断左右的递归方向
- 在函数开头判断区间合法性,二分后直接递归
本文后面主要用第二种方式展示
/** * P3374 【模板】树状数组 1 * https://www.luogu.com.cn/problem/P3374 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct SegTreeNode {
int val = 0;
};
vector<SegTreeNode> segTree;
vector<int> arr;
inline void pushUp(int root) {
segTree[root].val = segTree[root << 1].val + segTree[root << 1 | 1].val;
}
void build(int root, int left, int right) {
if (left == right) {
segTree[root].val = arr[left];
return;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
build(root << 1, left, mid);
build(root << 1 | 1, mid + 1, right);
pushUp(root);
}
void update(int root, int left, int right, int cur, int val) {
if (left == right) {
segTree[root].val += val;
return;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
if (cur <= mid) {
update(root << 1, left, mid, cur, val);
} else {
update(root << 1 | 1, mid + 1, right, cur, val);
}
pushUp(root);
}
int query(int root, int left, int right, int from, int to) {
// 两个区间无重合
if (from > right || to < left) {
return 0;
}
// 完全包含
if (from <= left && to >= right) {
return segTree[root].val;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
// int ans = 0;
// if (from <= mid) {
// ans += query(root << 1, left, mid, from, to);
// }
// if (to >= mid+1) {
// ans += query(root << 1 | 1, mid + 1, right, from, to);
// }
// return ans;
return query(root << 1, left, mid, from, to) +
query(root << 1 | 1, mid + 1, right, from, to);
}
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
segTree.resize(n << 2);
arr.resize(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> arr[i];
}
build(1, 1, n);
while (m--) {
int ask, idx, val, from, to;
cin >> ask;
if (ask == 1) {
cin >> idx >> val;
update(idx, val, 1, n, 1);
} else {
cin >> from >> to;
cout << query(from, to, 1, n, 1) << endl;
}
}
return 0;
}
单点覆盖 区间求最值
例题:洛谷:P1531 I Hate It
这两题算法完全一样,但我在杭电用cin没过,洛谷用scanf没过。。。
构造目标:
单点覆盖 区间求最值
实现思路:
覆盖那就直接把值等于上去即可
单点型也没必要用上lazy标记,因为这是直接作用于某个点,没有范围可言
本题主要想表示的是,单点型也可以写成区间的形式
只要在调用的时候,让询问的左右区间是同一个点即可
即:区间夹击成一个点
/** * 洛谷:P1531 I Hate It * https://www.luogu.com.cn/problem/P1531 * 单点修改, 区间查询最大值 */
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
#define ls (root << 1)
#define rs (root << 1 | 1)
const int M = 10 + 200000;
struct SegTreeNode {
int val; // 最值
};
SegTreeNode segTree[M << 2];
int arr[M];
void pushUp(int root) {
segTree[root].val = max(segTree[ls].val, segTree[rs].val);
}
void build(int root, int left, int right) {
if (left == right) {
segTree[root].val = arr[left];
return;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
build(ls, left, mid);
build(rs, mid + 1, right);
pushUp(root);
}
void update(int root, int left, int right, int from, int to, int val) {
if (from > right || to < left) {
return;
}
// 简单覆盖类可以不用不用lazy
if (from <= left && right <= to) {
segTree[root].val = val;
return;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
update(ls, left, mid, from, to, val);
update(rs, mid + 1, right, from, to, val);
pushUp(root);
}
int query(int root, int left, int right, int from, int to) {
if (from > right || to < left) {
return 0;
}
if (from <= left && right <= to) {
return segTree[root].val;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
return max(query(ls, left, mid, from, to),
query(rs, mid + 1, right, from, to));
}
signed main(void) {
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> arr[i];
}
build(1, 1, n);
while (m--) {
char ch;
cin >> ch;
if (ch == 'Q') {
int from, to;
cin >> from >> to;
cout << query(1, 1, n, from, to) << endl;
} else {
int idx, val;
cin >> idx >> val;
int pre = query(1, 1, n, idx, idx);
if (pre < val) {
update(1, 1, n, idx, idx, val);
}
}
}
return 0;
}
区间加值 区间求和 (树链剖分 完整版)
例题:洛谷:P3384 【模板】轻重链剖分/树链剖分
构造目标:
区间加值 区间求和
实现思路:
本题的核心在与如何把单个val加入到一个区间的每个数字中
我们知道一个root代表一个区间,区间就有长度;
那只需把val * length(root的区间) 即可;
可以理解为改区间里的每个点都有一个贡献的val,n个val相加,那就是n*val
同理,在
pushDown()
的时候也要计算该父节点对应左右孩子的长度;因此,这里的
pushDown()
还需要传入左右点的位置对真正的区间操作就需要用到懒惰标记了
懒惰标记的作用在于多次更新,少量查询
就是在update()的时候先暂缓的记下来,最后query的时候一口气作用出来
树链剖分 (非本文重点)
这份代码还是树链剖分的完整模板
先后调用两个dfs求出一对目标数组
在根据求lca的性质作用在线段树上
两点间更新,两点间查询
子树更新,子树查询
/** * P3384 【模板】轻重链剖分树链剖分 * https://www.luogu.com.cn/problem/P3384 */
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
#define ls (root << 1)
#define rs (root << 1 | 1)
const int M = 10 + 1 * 100000;
static int mod = 1e9 + 7; // 不用const 手动输入
int n; // 数据范围
/** ******************************************************************/
vector<int> oldVal(M); // 点权的初始值
vector<int> newVal(M); // 剖分后对应的值
/** ******************************************************************/
// 线段树模板
struct SegTreeNode {
int val;
int lazy;
};
vector<SegTreeNode> segTree(M << 2);
void pushUp(int root) {
segTree[root].val = (segTree[ls].val + segTree[rs].val) % mod;
}
void pushDown(int root, int left, int right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
int leftLen = mid - left + 1;
int rightLen = right - mid;
if (segTree[root].lazy != 0) {
// val 累计lazy*len
segTree[ls].val =
(segTree[ls].val + segTree[root].lazy * leftLen) % mod;
segTree[rs].val =
(segTree[rs].val + segTree[root].lazy * rightLen) % mod;
// lazy 直接累计
segTree[ls].lazy = (segTree[ls].lazy + segTree[root].lazy) % mod;
segTree[rs].lazy = (segTree[rs].lazy + segTree[root].lazy) % mod;
segTree[root].lazy = 0;
}
}
void build(int root, int left, int right) {
segTree[root].lazy = 0;
if (left == right) {
segTree[root].val = newVal[left];
return;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
build(ls, left, mid);
build(rs, mid + 1, right);
pushUp(root);
}
void update(int root, int left, int right, int from, int to, int val) {
if (from > right || to < left) {
return;
}
if (from <= left && right <= to) {
segTree[root].val =
(segTree[root].val + val * (right - left + 1)) % mod;
segTree[root].lazy = (segTree[root].lazy + val) % mod;
return;
}
pushDown(root, left, right);
int mid = left + (right - left) / 2;
update(ls, left, mid, from, to, val);
update(rs, mid + 1, right, from, to, val);
pushUp(root);
}
int query(int root, int left, int right, int from, int to) {
if (from > right || to < left) {
return 0;
}
if (from <= left && right <= to) {
return segTree[root].val;
}
pushDown(root, left, right);
int mid = left + (right - left) / 2;
return (query(ls, left, mid, from, to) +
query(rs, mid + 1, right, from, to)) %
mod;
}
/** ******************************************************************/
// 树链剖分模板
vector<vector<int>> graph(M); // 图
vector<int> father(M); // 父节点
vector<int> son(M); // 重孩子
vector<int> size(M); // 子树节点个数
vector<int> deep(M); // 深度,根节点为1
vector<int> top(M); // 重链的头,祖宗
vector<int> id(M); // 剖分新id
int cnt = 0; // 剖分计数
void dfs1(int cur, int from) {
deep[cur] = deep[from] + 1; // 深度,从来向转化来
father[cur] = from; // 父节点,记录来向
size[cur] = 1; // 子树的节点数量
son[cur] = 0; // 重孩子 (先默认0表示无)
for (int& to : graph[cur]) {
if (to == from) {
// 避免环
continue;
}
dfs1(to, cur); // 处理子节点
size[cur] += size[to]; // 节点数量叠加
if (size[son[cur]] < size[to]) {
// 松弛操作,更新重孩子
son[cur] = to;
}
}
}
void dfs2(int cur, int grandfather) {
top[cur] = grandfather; // top记录祖先
id[cur] = ++cnt; // 记录剖分id
newVal[cnt] = oldVal[cur]; // 映射到新值
if (son[cur] != 0) {
// 优先dfs重儿子
dfs2(son[cur], grandfather);
}
for (int& to : graph[cur]) {
if (to == father[cur] || to == son[cur]) {
continue; // 不是cur的父节点,不是重孩子
}
dfs2(to, to); // dfs轻孩子
}
}
// 本题中未使用
int lca(int x, int y) {
while (top[x] != top[y]) {
// 直到top祖宗想等
if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) {
swap(x, y); // 比较top祖先的深度,x始终设定为更深的
}
x = father[top[x]]; // 直接跳到top的父节点
}
return deep[x] < deep[y] ? x : y; // 在同一个重链中,深度更小的则为祖宗
}
/** ******************************************************************/
void updatePath(int x, int y, int val) {
while (top[x] != top[y]) {
if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) {
swap(x, y);
}
update(1, 1, n, id[top[x]], id[x], val);
x = father[top[x]];
}
if (deep[x] < deep[y]) {
swap(x, y);
}
update(1, 1, n, id[y], id[x], val);
}
void updateTree(int root, int val) {
update(1, 1, n, id[root], id[root] + size[root] - 1, val);
}
int queryPath(int x, int y) {
int sum = 0;
while (top[x] != top[y]) {
if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) {
swap(x, y);
}
sum += query(1, 1, n, id[top[x]], id[x]);
sum %= mod;
x = father[top[x]];
}
if (deep[x] < deep[y]) {
swap(x, y);
}
sum += query(1, 1, n, id[y], id[x]);
return sum % mod;
}
int queryTree(int root) {
return query(1, 1, n, id[root], id[root] + size[root] - 1);
}
/** ******************************************************************/
signed main() {
int m, root;
cin >> n >> m >> root >> mod;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> oldVal[i];
}
// 该树编号 [1, n]
// 本题仅仅说有边,未说方向
for (int i = 1, u, v; i <= n - 1; i++) {
cin >> u >> v;
graph[v].emplace_back(u);
graph[u].emplace_back(v);
}
// 树链剖分 重链
dfs1(root, 0);
dfs2(root, root);
// 根据映射的newVal建树
build(1, 1, n);
for (int i = 1, ask; i <= m; i++) {
cin >> ask;
int from, to, val, from, to, subtree;
if (ask == 1) {
cin >> from >> to >> val;
updatePath(from, to, val);
} else if (ask == 2) {
cin >> from >> to;
cout << queryPath(from, to) % mod << endl;
} else if (ask == 3) {
cin >> subtree >> val;
updateTree(subtree, val);
} else {
cin >> subtree;
cout << queryTree(subtree) % mod << endl;
}
}
return 0;
}
区间加乘 区间求和
例题:洛谷:P3373 【模板】线段树 2
构造目标:
多状态更新
区间加乘 区间求和
实现思路:
根据每个状态,分别设定一个lazy,分别编写对应的
update()
根据群论的知识(常识)可得
int lazyAdd = 0; // 加法
int lazyMul = 1; // 乘法
加法的更新在前面的例题中有介绍,就是根据区间长度来计算
这里主要讲下乘法的更新
从对单个点的作用到区间的思路来看;
x1 * val + x2 * val +...+xn * val
提取出val可化简得sum(xi) * val
懒惰标记同理
注意因为乘法比加法高级,因此在乘法的的更新中也要作用到加法的lazy中
理解:val 的实际值应该是 (oldval + add)
有乘法后应该是
(oldval + add) * mul
根据乘法分配律
(oldval + add) * mul = oldval * mul + add * mul
而加法中
(oldval * mul) + add != (oldval + add) * (mul + add)
在
pushDown()
中
val 要同时根据add和mul更新
mul 不受 add影响
add 受 mul影响
这里再强调下pushDown的理念,这是
自顶向下
更新是root 的内容 对 ls 和 rs的修改作用,大范围区间影响到其子区间
/** * P3373 【模板】线段树 2 * https://www.luogu.com.cn/problem/P3373 * 区间修改(加法,乘法) 区间查询 */
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
#define ls (root << 1)
#define rs (root << 1 | 1)
struct SegTreeNode {
int val;
int lazyAdd = 0; // 加法
int lazyMul = 1; // 乘法
};
int mod;
vector<SegTreeNode> segTree;
vector<int> arr;
// 自底向上更新
inline void pushUp(int root) {
segTree[root].val = (segTree[ls].val + segTree[rs].val) % mod;
}
// 自顶向下更新
inline void pushDown(int root, int left, int right) {
int mid = (right - left) / 2 + left;
int leftLen = mid - left + 1;
int rightLen = right - mid;
// 基于一些题目的特殊情况,这里最好判断一下懒惰标记
segTree[ls].val = (segTree[ls].val * segTree[root].lazyMul +
segTree[root].lazyAdd * leftLen) %
mod;
segTree[rs].val = (segTree[rs].val * segTree[root].lazyMul +
segTree[root].lazyAdd * rightLen) %
mod;
segTree[ls].lazyMul = (segTree[ls].lazyMul * segTree[root].lazyMul) % mod;
segTree[rs].lazyMul = (segTree[rs].lazyMul * segTree[root].lazyMul) % mod;
segTree[ls].lazyAdd =
(segTree[ls].lazyAdd * segTree[root].lazyMul + segTree[root].lazyAdd) %
mod;
segTree[rs].lazyAdd =
(segTree[rs].lazyAdd * segTree[root].lazyMul + segTree[root].lazyAdd) %
mod;
segTree[root].lazyAdd = 0;
segTree[root].lazyMul = 1;
}
// 建树
void build(int root, int left, int right) {
// 初始化懒惰标记 加法为0 乘法为1
segTree[root].lazyAdd = 0;
segTree[root].lazyMul = 1;
if (left == right) {
segTree[root].val = arr[left] % mod;
return;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
build(ls, left, mid);
build(rs, mid + 1, right);
pushUp(root);
}
// 加法更新
void updateAdd(int root, int left, int right, int from, int to, int val) {
// 两个区间无重合
if (from > right || to < left) {
return;
}
// 包含在[from, to]的区间才更新
if (from <= left && to >= right) {
segTree[root].val =
(segTree[root].val + val * (right - left + 1)) % mod;
segTree[root].lazyAdd = (segTree[root].lazyAdd + val) % mod;
return;
}
pushDown(root, left, right);
int mid = (right - left) / 2 + left;
updateAdd(ls, left, mid, from, to, val);
updateAdd(rs, mid + 1, right, from, to, val);
pushUp(root);
}
// 乘法更新
void updateMul(int root, int left, int right, int from, int to, int val) {
// 两个区间无重合
if (from > right || to < left) {
return;
}
// 包含在[from, to]的区间才更新
if (from <= left && to >= right) {
segTree[root].val = (segTree[root].val * val) % mod;
segTree[root].lazyMul = (segTree[root].lazyMul * val) % mod;
// 加法值也同步更新
segTree[root].lazyAdd = (segTree[root].lazyAdd * val) % mod;
return;
}
pushDown(root, left, right);
int mid = (right - left) / 2 + left;
updateMul(ls, left, mid, from, to, val);
updateMul(rs, mid + 1, right, from, to, val);
pushUp(root);
}
// 查询
int query(int root, int left, int right, int from, int to) {
// 两个区间无重合
if (from > right || to < left) {
return 0;
}
// 完全包含
if (from <= left && to >= right) {
return segTree[root].val;
}
pushDown(root, left, right);
int mid = (right - left) / 2 + left;
return (query(ls, left, mid, from, to) +
query(rs, mid + 1, right, from, to)) %
mod;
}
signed main() {
int n, m;
cin >> n >> m >> mod;
segTree.resize(n << 2);
arr.resize(n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> arr[i];
}
build(1, 1, n);
for (int i = 1, ask; i <= m; i++) {
cin >> ask;
int from, to, val;
if (ask == 1) {
// 乘法
cin >> from >> to >> val;
updateMul(1, 1, n, from, to, val);
} else if (ask == 2) {
// 加法
cin >> from >> to >> val;
updateAdd(1, 1, n, from, to, val);
} else {
cin >> from >> to;
cout << query(1, 1, n, from, to) << endl;
}
}
return 0;
}
区间计次 区间求次数 (map 自动开点)
例题:力扣:731. 我的日程安排表 II
日程安排表123都是这个模板
构造目标:
区间操作次数累计,求操作最大次数
因为是操作次数,因此都1点1点累计的
也可以视为区间加值 区间求最值
实现思路:
首先明确一点核心,这里的要求是操作次数而不是值的大小。
在一个区间中每个点所被作用的次数是一样的,单点代表的次数和区间的次数是一样的
因此是直接累计次数,并不是像加值一样还要乘上区间长度!
本题可以拓展一些思路和维度
区间的累计亦是一种覆盖
下面在
pushDown()
的两种写法的最终的效果是一样的
segTree[root<<1].val = segTree[root<<1].val + segTree[root].lazy;
segTree[root<<1|1].val += segTree[root].lazy;
- 第一种
=
是把左边的值全部覆盖理解为先获得该子区间的最大值
segTree[root<<1].val
,再累计上segTree[root].lazy
计算出一个新值实际操作是覆盖到左边的变量上去,这是一种覆盖的思想
- 第二种是
+=
是常规的加值操作直接将lazy的值加到子区间中,是一种加值的思想(这里是计次数,每次只+1次)
动态开点(自动开点)
本题与之前常规的线段树有一定不同,那就是没有初始化
n * 4
的线段树组数,且没有build()
操作原因在于本题的区间范围n最大到达
1e9
的范围,常规数组直接会爆空间因此我们必须动态的申请空间,需要多少申请多少,这里我们直接借助
map 和 unordered_map
的特性,可以做到自动开点且这类题通常没有需要初始化的数值条件,因此也不需要
build()
但是抛开动态开点这点,会发现
update query pushDonw pushUp
的编写方式和思路完全不受影响,可见动态开点不是这类题的根本难点
class MyCalendarTwo {
private:
/// 动态开点没有build最好都初始化
struct SegTreeNode {
int val = 0;
int lazy = 0;
};
// map 天然的能动态开点
unordered_map<int, SegTreeNode> segTree;
// 区间最值
void pushUp(int root) {
segTree[root].val = max(segTree[root<<1].val, segTree[root<<1|1].val);
}
// 区间累加
// 累计型,val 和 lazy都要将状态累计
void pushDown(int root) {
if (segTree[root].lazy != 0) {
segTree[root<<1].val = segTree[root<<1].val + segTree[root].lazy;
segTree[root<<1|1].val += segTree[root].lazy;
segTree[root<<1].lazy += segTree[root].lazy;
segTree[root<<1|1].lazy += segTree[root].lazy;
segTree[root].lazy = 0;
}
}
void update(int root, int left, int right, int from, int to, int val) {
if (to < left || from > right) {
return ;
}
if (from <= left && right <= to) {
segTree[root].val += val;
segTree[root].lazy += val;
return ;
}
pushDown(root);
int mid = left + (right - left) / 2;
update(root<<1, left, mid, from, to, val);
update(root<<1|1, mid+1, right, from, to, val);
pushUp(root);
}
int query(int root, int left, int right, int from, int to) {
if (to < left || from > right) {
return 0;
}
if (from <= left && right <= to) {
return segTree[root].val;
}
pushDown(root);
int mid = left + (right - left) / 2;
return max(query(root<<1, left, mid, from, to),
query(root<<1|1, mid+1, right, from, to) );
}
public:
MyCalendarTwo() {
}
bool book(int start, int end) {
end -= 1;
/// [from, to]区间的最大值
if (query(1, 0, 1e9, start, end) >= 2) {
return false;
}
/// [from, to]区间累计+1
update(1, 0, 1e9, start, end, 1);
return true;
}
};
/** * Your MyCalendarTwo object will be instantiated and called as such: * MyCalendarTwo* obj = new MyCalendarTwo(); * bool param_1 = obj->book(start,end); */
区间覆盖 区间求最值 (map 自动开点)
例题:力扣:699. 掉落的方块
构造目标:
区间覆盖 区间求最值
先获得原始区间的最值,在累计后覆盖回去
实现思路:
这就是典型的区间覆盖问题
当一个大的区间覆盖了新值,那么对应的左右子区间也是要这个值
因此在
pushDown()
中root.val
覆盖到ls.val 和 rs.val
上lazy也是直接由root覆盖到左右,但是这里的lazy其实只是做一个需要覆盖到子区间的标记而已,类似于true false
但是这里还有一种写法
就是在
pushDown()
中的左右子区间的val和lazy全部覆盖为root.lazy这种表示其实是看怎么理解lazy的含义
全覆盖成root.lazy的话就是既把lazy作为需要覆盖的标记,又作为需要覆盖的值
若本题的覆盖为0怎么办,这个时候由于lazy背负多重含义
一定要明确出怎样才是
pushDown()
中if成立的条件可见lazy代表太多含义又是可能并不会省力太多
class Solution {
#define ls (root << 1)
#define rs (root << 1 | 1)
private:
struct SegTreeNode {
int val = 0;
int lazy = 0;
};
unordered_map<int, SegTreeNode> segTree;
void pushUp(int root) {
segTree[root].val = max(segTree[ls].val, segTree[rs].val);
}
void pushDown(int root) {
if (segTree[root].lazy != 0) {
segTree[ls].val = segTree[root].val;
segTree[rs].val = segTree[root].val;
segTree[ls].lazy = segTree[root].lazy;
segTree[rs].lazy = segTree[root].lazy;
segTree[root].lazy = 0;
}
}
void update(int root, int left, int right, int from, int to, int val) {
if (from > right || to < left) {
return;
}
if (from <= left && right <= to) {
segTree[root].val = val;
segTree[root].lazy = val;
return;
}
pushDown(root);
int mid = left + (right - left) / 2;
update(ls, left, mid, from, to, val);
update(rs, mid + 1, right, from, to, val);
pushUp(root);
}
int query(int root, int left, int right, int from, int to) {
if (from > right || to < left) {
return 0;
}
if (from <= left && right <= to) {
return segTree[root].val;
}
pushDown(root);
int mid = left + (right - left) / 2;
return max(query(ls, left, mid, from, to), query(rs, mid + 1, right, from, to));
}
public:
const int n = 1e8;
vector<int> fallingSquares(vector<vector<int>>& positions) {
vector<int> ans(positions.size());
for (int i = 0; i < positions.size(); i++) {
int left = positions[i][0],
right = positions[i][0] + positions[i][1] - 1,
len = positions[i][1];
int pre = query(1, 1, n, left, right);
update(1, 1, n, left, right, len + pre);
// ans[i] = segTree[1].val;
ans[i] = query(1, 1, n, 1, n);
}
return ans;
}
};
区间覆盖 true or false 区间计数 (动态开点 指针)
例题:力扣:2276. 统计区间中的整数数目
本题数据量
1e5
用unordered_map
自动开点超时
构造目标:
区间覆盖 true or false 区间计数
true 表示该区间可获得
false 表示该区间不可获得
实现思路:
本题的计数是每个点贡献1个单位
如果是一个连续的区间,那么可以利用区间长度来计算
然后若需要将该区间视为可取的话,可以设置为true
代码中由lazy = 1表示true
指针动态开点
很简单,就是在需要的时候开,那就是要在分左右子树的时候开点。
这里写在
update query 或者 pushDown
都行本题操作次数是
1e5
map的自动开点会超时,(前面的题1e4map可以过)还有,这题写了析构居然也超!(力扣对C++太不友好了)
其实动态开点还有预估点数的做法,但我不怎么会估。。。
class CountIntervals {
private:
struct SegTreeNode {
int val = 0;
int lazy = 0;
SegTreeNode* ls = nullptr;
SegTreeNode* rs = nullptr;
};
SegTreeNode* segTree = new SegTreeNode();
// 累计数量
void pushUp(SegTreeNode* root) {
root->val = root->ls->val + root->rs->val;
}
void pushDown(SegTreeNode* root, int left, int right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
int leftLen = mid - left + 1;
int rightLen = right - mid;
// 本题只有累计的状态,没有消除的状态
// 因此这里的val 可乘可不乘lazy
if (root->lazy != 0) {
root->ls->val = leftLen * root->lazy;
root->rs->val = rightLen * root->lazy;
root->ls->lazy = root->lazy;
root->rs->lazy = root->lazy;
root->lazy = 0;
}
}
void update(SegTreeNode* root, int left, int right, int from, int to, int val) {
if (from > right || to < left) {
return;
}
if (from <= left && right <= to) {
root->val = val * (right - left + 1);
root->lazy = val;
return;
}
if (nullptr == root->ls) {
root->ls = new SegTreeNode();
}
if (nullptr == root->rs) {
root->rs = new SegTreeNode();
}
pushDown(root, left, right);
int mid = left + (right - left) / 2;
update(root->ls, left, mid, from, to, val);
update(root->rs, mid + 1, right, from, to, val);
pushUp(root);
}
int query(SegTreeNode* root, int left, int right, int from, int to) {
if (from > right || to < left) {
return 0;
}
if (from <= left && right <= to) {
return root->val;
}
if (nullptr == root->ls) {
root->ls = new SegTreeNode();
}
if (nullptr == root->rs) {
root->rs = new SegTreeNode();
}
pushDown(root, left, right);
int mid = left + (right - left) / 2;
return query(root->ls, left, mid, from, to) +
query(root->rs, mid + 1, right, from, to);
}
public:
const int n = 1e9;
CountIntervals() {
}
// 析构超时
// ~CountIntervals() {
// function<void(SegTreeNode*)> deleteNode = [&](SegTreeNode* root) {
// if (nullptr != root->ls) {
// deleteNode(root->ls);
// }
// if (nullptr != root->rs) {
// deleteNode(root->rs);
// }
// delete root;
// };
// deleteNode(segTree);
// }
void add(int left, int right) {
update(segTree, 1, n, left, right, 1);
}
int count() {
return query(segTree, 1, n, 1, n);
}
};
/** * Your CountIntervals object will be instantiated and called as such: * CountIntervals* obj = new CountIntervals(); * obj->add(left,right); * int param_2 = obj->count(); */
区间覆盖 true or false 区间求和 (树链剖分)
构造目标:
区间覆盖 true or false
区间为true的求和
初始全false,后续可改为true或者false
初始化每个点的值 (均不可获得)
- 操作1 x到y之间设为可获得
- 操作2 x到y之间设为不可获得
- 操作3 求x到y之间的和 (可获得的值)
实现思路:
树链剖分这里直接套模板即可
这里我们设定三种变量
- val 目标的计算值
- sum 该区间的和
- lazy 状态改变标记
由于本题可由
true -> false
也可false -> true
因此可以引出第三种状态来进行区分,这里舍lazy = -1为不需要pushDown的状态 (关键)
如果有状态的变化,那就将
sum * lazy(true | false)
赋值到val上关于要求的
pushUp()
很显然我们的目标是求区间的和,很自然的是将左右子树的val 的和赋值到root上但是在
build()
并非如此,第一点在于初始状态全部为false那这个求和也没有意义在这我们还要预处理出每个区间的和
因此这里的build需要一个预处理sum的pushUp
这就体现了线段树可能每部分写的模板相似,但是实际的操作作用和细节都不相同!
/** * 5221 Occupation * https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5221 * 树链剖分 + 线段树 */
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
#define ls (root << 1)
#define rs (root << 1 | 1)
/** *************************************************************************/
const int M = 10 + 100000;
vector<int> oldVal(M);
vector<int> newVal(M);
/** *************************************************************************/
static int n;
struct SegTreeNode {
int val;
int lazy;
int sum;
};
vector<SegTreeNode> segTree(M << 2);
void pushUp(int root) {
segTree[root].val = segTree[ls].val + segTree[rs].val;
}
void pushDown(int root) {
if (segTree[root].lazy != -1) {
// 整个区间覆盖 以lazy来判断如何记录这个区间的sum
segTree[ls].val = segTree[ls].sum * segTree[root].lazy;
segTree[rs].val = segTree[rs].sum * segTree[root].lazy;
// lazy传递下去
segTree[ls].lazy = segTree[root].lazy;
segTree[rs].lazy = segTree[root].lazy;
segTree[root].lazy = -1;
}
}
void build(int root, int left, int right) {
segTree[root].val = segTree[root].sum = 0;
// 0->1 1->0 不好区分则用三色标记
segTree[root].lazy = -1;
if (left == right) {
segTree[root].sum = newVal[left];
return;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
build(ls, left, mid);
build(rs, mid + 1, right);
// pushUp(root);
// build 的初始只需要计算区间和即可
segTree[root].sum = segTree[ls].sum + segTree[rs].sum;
}
void update(int root, int left, int right, int from, int to, int val) {
if (from > right || to < left) {
return;
}
// 整个区间覆盖 以val 来判断如何记录这个区间的sum
// 而lazy只是为了把val记录下来罢了
if (from <= left && right <= to) {
segTree[root].val = segTree[root].sum * val;
segTree[root].lazy = val;
return;
}
pushDown(root);
int mid = left + (right - left) / 2;
update(ls, left, mid, from, to, val);
update(rs, mid + 1, right, from, to, val);
pushUp(root);
}
int query(int root, int left, int right, int from, int to) {
if (from > right || to < left) {
return 0;
}
if (from <= left && right <= to) {
return segTree[root].val;
}
pushDown(root);
int mid = left + (right - left) / 2;
return query(ls, left, mid, from, to) + query(rs, mid + 1, right, from, to);
}
/** *************************************************************************/
// 树链剖分模板
vector<vector<int>> graph(M);
vector<int> father(M);
vector<int> deep(M);
vector<int> size(M);
vector<int> son(M);
vector<int> top(M);
vector<int> idx(M);
int cnt = 0;
void dfs1(int cur, int from) {
deep[cur] = deep[from] + 1; // 深度,从来向转化来
father[cur] = from; // 父节点,记录来向
size[cur] = 1; // 子树的节点数量
son[cur] = 0; // 重孩子 (先默认0表示无)
for (int& to : graph[cur]) {
if (to == from) {
// 避免环
continue;
}
dfs1(to, cur); // 处理子节点
size[cur] += size[to]; // 节点数量叠加
if (size[son[cur]] < size[to]) {
// 松弛操作,更新重孩子
son[cur] = to;
}
}
}
void dfs2(int cur, int grandfather) {
top[cur] = grandfather; // top记录祖先
idx[cur] = ++cnt; // 记录剖分id
newVal[cnt] = oldVal[cur]; // 映射到新值
if (son[cur] != 0) {
// 优先dfs重儿子
dfs2(son[cur], grandfather);
}
for (int& to : graph[cur]) {
if (to == father[cur] || to == son[cur]) {
continue; // 不是cur的父节点,不是重孩子
}
dfs2(to, to); // dfs轻孩子
}
}
/** *************************************************************************/
void updatePath(int x, int y, int val) {
while (top[x] != top[y]) {
if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) {
swap(x, y);
}
update(1, 1, n, idx[top[x]], idx[x], val);
x = father[top[x]];
}
if (deep[x] < deep[y]) {
swap(x, y);
}
update(1, 1, n, idx[y], idx[x], val);
}
void updateTree(int root, int val = true) {
update(1, 1, n, idx[root], idx[root] + size[root] - 1, val);
}
/** *************************************************************************/
void solve() {
scanf("%lld", &n);
cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
newVal[i] = father[i] = son[i] = top[i] = deep[i] = idx[i] = size[i] =
0;
graph[i].clear();
scanf("%lld", &oldVal[i]);
}
// 建图
for (int i = 1, u, v; i <= n - 1; i++) {
scanf("%lld %lld", &u, &v);
graph[u].emplace_back(v);
graph[v].emplace_back(u);
}
// 跑树链剖分
dfs1(1, 0);
dfs2(1, 1);
// 建立线段树
build(1, 1, n);
int Q = 0;
scanf("%lld", &Q);
for (int i = 1, ask; i <= Q; i++) {
scanf("%lld", &ask);
int from, to, pos, subTree;
if (ask == 1) {
scanf("%lld %lld", &from, &to);
updatePath(from, to, 1);
} else if (ask == 2) {
scanf("%lld", &pos);
updatePath(pos, pos, 0);
} else {
scanf("%lld", &subTree);
updateTree(subTree);
}
printf("%lld\n", query(1, 1, n, 1, n));
// printf("%lld\n", segTree[1].val); // 因为是求整个区间,这么写等效
}
}
signed main() {
int T = 1;
scanf("%lld", &T);
while (T--) {
solve();
}
return 0;
}
区间合并 子序列 (LCIS 最长严格递增子序列)
例题:杭电:LCIS - 3308
个人认为本题是本文中最难的一题
构造目标:
求出目标区间内的最长递增子序列
可以动态修改某个点的值
实现思路:
区间合并这类题的要点在于如何求值
pushUp()
区间类题一般具有三个变量
val 要求的目标值
代码中对应SegTreeNode::val
lval 该区间左边前缀的状态
代码中对应SegTreeNode::lmax
rval 该区间右边后缀的状态
代码中对应SegTreeNode::rmax
在
pushUp()
中是借助左右子区间的值该更新root的值首先是三个最起码
root.lmax
最起码是ls.lmax
当前的前缀最起码是左子树的前缀值root.rmax
最起码是rs.rmax
当前的后缀最起码是右子树的后缀值root.val
最起码是max(ls.val, rs.val)
当前的目标值最起码是左右子树中最大的值然后是考虑一个前提,三个能否
**前提:**左右子树的状态可连接
arr[mid] < arr[mid+1]
这个前提是根据题目要求而定的,本题是求最长严格递增子序列,那就是需要
左子树的末端 < 右子树的首端
在满足前提的条件下,在对root的三个变量进行更新
关于三个能否也是需要依题而定,本题是求最长严格递增子序列,每个点的贡献是1,因此这也和区间长度有关
- 左子树的前缀是否饱和?
- 若左子树的前缀 == 左子树的长度
- (当前的前缀继承自左子树的前缀)
- 当前的前缀累计上右子树的前缀
- 右子树的后缀是否饱和?
- 若右子树的后缀 == 右子树的长度
- (当前的后缀继承自右子树的后缀)
- 当前的后缀累计上左子树的后缀
- 满足前提,则表示左子树的后缀可以连接右子树的前缀
- 将左右连接的状态和当前的值进行松弛操作
同理,在
query()
的时候也需要这么操作注意这里的合并还要考虑递归空间的合法性才可以,区间不合规要提前return
在松弛root.val的时候也要保证ls和rs的区间合法性
因为ls和rs表示的是
[left, right]
的状态,而当前的目标是[from, to]
因此还要做两次min保证区间合法性
/** * 杭电 LCIS 严格递增 * https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3308 * 单点修改,区间查询 * 区间合并 经典例题 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls (root << 1)
#define rs (root << 1 | 1)
const int M = 10 + 100000;
// 结构体中维护的是下标root的LCIS的最大值
struct SegTreeNode {
int val; // 总区间最大值
int lmax, rmax; // 左右,前缀后缀最大值
};
SegTreeNode segTree[M << 2];
int arr[M];
// ls和rs能给root的贡献
void pushUp(int root, int left, int right) {
// 左侧的前缀直接抄左边,右侧的后缀直接抄右边
segTree[root].lmax = segTree[ls].lmax;
segTree[root].rmax = segTree[rs].rmax;
segTree[root].val = max(segTree[ls].val, segTree[rs].val);
int mid = (right - left) / 2 + left;
int leftLen = mid - left + 1;
int rightLen = right - mid;
if (arr[mid] < arr[mid + 1]) {
// 左侧全覆盖,则可接上右侧的前缀
if (segTree[root].lmax == leftLen) {
segTree[root].lmax += segTree[rs].lmax;
}
// 右侧全覆盖,则可接上左侧的后缀
if (segTree[root].rmax == rightLen) {
segTree[root].rmax += segTree[ls].rmax;
}
// 和 左侧的后缀+右侧的前缀 比较
segTree[root].val =
max(segTree[root].val, segTree[ls].rmax + segTree[rs].lmax);
}
}
void build(int root, int left, int right) {
if (left == right) {
// 初始均为1,单个点,长度为1的区间的LCIS为1
segTree[root].val = segTree[root].lmax = segTree[root].rmax = 1;
return;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
build(ls, left, mid);
build(rs, mid + 1, right);
pushUp(root, left, right);
}
void update(int root, int left, int right, int from, int to, int val) {
if (from > right || to < left) {
return;
}
if (from <= left && right <= to) {
// val已经在调用前使用,这里规范的写一下而已
return;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
update(ls, left, mid, from, to, val);
update(rs, mid + 1, right, from, to, val);
pushUp(root, left, right);
}
int query(int root, int left, int right, int from, int to) {
if (from > right || to < left) {
return 0; // 这里返回1也可以,但逻辑不对
}
if (from <= left && right <= to) {
return segTree[root].val;
}
int mid = (right - left) / 2 + left;
int lmax = query(ls, left, mid, from, to);
int rmax = query(rs, mid + 1, right, from, to);
// 右侧压根没分到,只考虑左侧
if (to < mid) {
return lmax;
}
// 左侧压根没分到,只考虑右侧
if (from > mid) {
return rmax;
}
// 上面提前return了,现在左右都有贡献值
int ans = max(lmax, rmax);
if (arr[mid] < arr[mid + 1]) {
// 左侧的后缀 和 右侧的前缀 合并
// 保证区间在[from, to]内,做两次min
ans = max(ans, min(mid - from + 1, segTree[ls].rmax) +
min(to - mid, segTree[rs].lmax));
}
return ans;
}
void solve() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> arr[i];
}
build(1, 1, n);
for (int i = 1, a, b; i <= m; i++) {
char ch;
cin >> ch >> a >> b;
if (ch == 'U') {
a += 1; // 本题输入是[0, n-1]
arr[a] = b; // 直接在原序列上改
// 还是要update() 目的是为了pushUp()
update(1, 1, n, a, a, b);
} else {
a += 1, b += 1;
cout << query(1, 1, n, a, b) << endl;
}
}
}
int main(void) {
int T = 1;
cin >> T;
for (int i = 1; i <= T; i++) {
solve();
}
return 0;
}
区间合并 字串 (最大子序和)
例题:力扣:53. 最大子数组和
构造目标:
求出目标区间内的最大字串和
实现思路:
注意子串是连续的,子序列是可以不连续的
子串天然的必须连接,不想子序列一样需要有连接前提。(具体如何连接的思路见上一题)
因此可以直接将赋值和连接的松弛合并着写
注意本题需要预处理一个当前区间的sum和,着跟目标的val是两个作用的变量
class Solution {
#define ls (root << 1)
#define rs (root << 1 | 1)
private:
struct SegTreeNode {
// 最大子序和
int val;
// 该区间 左侧前缀子序和最大,右侧后缀子序和最大
int lmax, rmax;
// 区间内总和
int sum;
};
vector<int> arr;
vector<SegTreeNode> segTree;
void pushUp(int root) {
segTree[root].sum = segTree[ls].sum + segTree[rs].sum;
segTree[root].lmax =
max(segTree[ls].lmax, segTree[ls].sum + segTree[rs].lmax);
segTree[root].rmax =
max(segTree[rs].rmax, segTree[rs].sum + segTree[ls].rmax);
segTree[root].val = max(max(segTree[ls].val, segTree[rs].val),
segTree[ls].rmax + segTree[rs].lmax);
}
void build(int root, int left, int right) {
segTree[root].val = segTree[root].lmax = segTree[root].rmax =
segTree[root].sum = 0;
if (left == right) {
segTree[root].val = segTree[root].lmax = segTree[root].rmax =
segTree[root].sum = arr[left];
return;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
build(ls, left, mid);
build(rs, mid + 1, right);
pushUp(root);
}
public:
int maxSubArray(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
this->segTree.resize(n << 2);
this->arr.resize(n + 1);
/// [1, n]
for (int i = 1; i <= n; i++) {
arr[i] = nums[i - 1];
}
build(1, 1, n);
return segTree[1].val;
}
};
区间深度
其实这根线段树没太大关系了
这里提一下已知区间长度,计算区间深度的方法
// 计算深度 len为区间长度
int getDeep(int len) {
int deep = 1;
while (len != 1) {
len = (len + 1) >> 1;
deep ++;
}
return deep;
}
query默认值问题 区间求最值为例
例题:POJ:3264 – Balanced Lineup
力扣:239. 滑动窗口最大值
线段树天然能解决RMQ问题
构造目标:
求区间的最值
实现思路:
这里主要说明的是,我们做题时要时刻注意数据范围
比如我们求数值大小的时候,不能死板的将默认值设定为0
要根据题目需求和数据范围来编写
这也可能受我这个模板的影响,因为我是无脑递归的
在
query()
中如果在mid后分情况递归,一定程度上可以避免这种问题
/** * POJ Balanced Lineup * https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/POJ-3264 * http://poj.org/problem?id=3264 */
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
const int M = 10 + 50000;
struct SegTreeNode {
int maxx;
int minn;
};
vector<SegTreeNode> segTree(M << 2);
vector<int> arr(M);
void pushUp(int root) {
segTree[root].maxx =
max(segTree[root << 1].maxx, segTree[root << 1 | 1].maxx);
segTree[root].minn =
min(segTree[root << 1].minn, segTree[root << 1 | 1].minn);
}
void build(int root, int left, int right) {
if (left == right) {
segTree[root].maxx = arr[left];
segTree[root].minn = arr[left];
return;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
build(root << 1, left, mid);
build(root << 1 | 1, mid + 1, right);
pushUp(root);
}
int queryMax(int root, int left, int right, int from, int to) {
if (from > right || to < left) {
return INT_MIN;
}
if (from <= left && right <= to) {
return segTree[root].maxx;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
return max(queryMax(root << 1, left, mid, from, to),
queryMax(root << 1 | 1, mid + 1, right, from, to));
}
int queryMin(int root, int left, int right, int from, int to) {
if (from > right || to < left) {
return INT_MAX;
}
if (from <= left && right <= to) {
return segTree[root].minn;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
return min(queryMin(root << 1, left, mid, from, to),
queryMin(root << 1 | 1, mid + 1, right, from, to));
}
int main() {
int n, Q;
scanf("%d %d", &n, &Q);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &arr[i]);
}
build(1, 1, n);
while (Q--) {
int from, to;
scanf("%d %d", &from, &to);
printf("%d\n",
queryMax(1, 1, n, from, to) - queryMin(1, 1, n, from, to));
}
return 0;
}
END
边栏推荐
- Redis implements distributed locks
- Key Technologies of Interface Testing
- addressable in Golang
- Point Cloud DBSCAN Clustering (MATLAB, not built-in function)
- The distance value between two arrays of LeetCode simple questions
- Distributed locks and three implementation methods
- 下载jar包的好地方
- Implementation of a sequence table
- 【AUTOSAR-RTE】-4-Port和Interface以及Data Type
- some of my own thoughts
猜你喜欢
什么是系统?
Redis implements distributed locks
Detailed explanation of TCP and UDP
Database implements distributed locks
Ambiguous method call.both
Mysql 45讲学习笔记(二十三)MYSQL怎么保证数据不丢
SIP协议标准和实现机制
SIP Protocol Standard and Implementation Mechanism
【Exception】The field file exceeds its maximum permitted size of 1048576 bytes.
How to develop a high-quality test case?
随机推荐
Good place to download jar packages
MP使用时的几个常见报错
大小端模式
The Map Entry understanding and application
Just debuted "Fight to Fame", safety and comfort are not lost
[C language] Preprocessing operation
【CocosCreator 3.5】CocosCreator get network status
安全20220718
LeetCode每日一练 —— 138. 复制带随机指针的链表
CorelDRAW2022 streamlined Asia Pacific new features in detail
What is SQALE
Office automation case: how to automatically generate period data?
addressable in Golang
SQL Interview Questions (Key Points)
一份高质量的测试用例如何养成?
C# remote debugging
7年经验,功能测试工程师该如何一步步提升自己的能力呢?
5. SAP ABAP OData 服务如何支持 $filter (过滤)操作
观察者模式
【C语言】预处理操作