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DOA从一维阵列传感说起

2022-08-02 00:14:00 【三兑空空】

一、时域信号

1.1 对一个正弦信号x(t) = sin(2\pi f_{0}t)进行等时间间隔(T_{s})采样，采样N个数据点，就会得到如下数组:

X_{N} = [sin(2\pi f_{0}.0), sin(2\pi f_{0}.T_{s}), sin(2\pi f_{0}.2T_{s}), ... , sin(2\pi f_{0}.(N-1)T_{s})]

如果以采样率f_{s} = 1/T_{s} ===>T_{s} = 1/f_{s}的形式就可以写成

X_{N} = [sin(2\pi f_{0}.0), sin(2\pi f_{0}/f_{s}), sin(2\pi f_{0}2/f_{s}), ... , sin(2\pi f_{0}.(N-1)/f_{s})]

由离散傅立叶变换可知

X(f_{m}) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j2\pi nf_{m}/f_{s}}

然后可根据下面公式求出相位

        X_{\phi } = tan^{-1}(\frac{X_{imag}(m)}{X_{real}(m)})

二、时空域信号

        上面的时域信号可以理解为一个信号发生器或者一个传感器在时间轴上的信号，下面讨论一个波动信号（电磁波、振动、声波的远场模型）在一维传感器阵列的作用。

        在某一时刻，对所有阵元同步采样到的信号称之为一个快拍（可以理解为照相机照相，同一时刻光感阵列的曝光）

        我们先做一个假设，如下图所示，M个阵元，单一信号以偏离法线 θ 入射到阵列上

可以看出，信号要到达第二个阵元所走过的路程 比 到达第一个阵元走过的路程 要多 dsin(\theta),后面以此类推，信号要到达后面一个阵元 都比 前面一个阵元 多走dsin(\theta) 的空间距离。

我们都知道电磁波的速度为光速c,那么上面的路程计算到时间维度，可以得出：相同的信号，要到达后一个阵元，就比前一个阵元 在时间上 迟了\delta t=\frac{dsin(\theta)}{c}。假设信号的频率为f_0，并且以第一个阵元为参考点，那么每一个阵元相对于第一个阵元的时间差为

\Delta t=[0, \frac{dsin(\theta)}{c}, \frac{2dsin(\theta)}{c},...,\frac{(M-1)dsin(\theta)}{c}]

那么到达各个阵元的信号，相对于第一个阵元的相位差就应该是

\Delta \phi = [0,2\pi f_{0}\frac{dsin(\theta )}{c},2\pi f_{0}\frac{2dsin(\theta )}{c},...2\pi f_{0}\frac{(M-1)dsin(\theta )}{c}]

由此我们可以推出一个快拍信号为

X_{M}= [s(t),s(t).e^{-j2\pi f_{0}\frac{dsin(\theta )}{c}},s(t).e^{-j2\pi f_{0}\frac{2dsin(\theta )}{c}},s(t).e^{-j2\pi f_{0}\frac{3dsin(\theta )}{c}},...s(t).e^{-j2\pi f_{0}\frac{(M-1)dsin(\theta )}{c}}]

如果我们对这个快拍信号做DFT变换

X(f_{m}) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-j2\pi nf_{m}/f_{s}}

可根据下面公式求相位

X_{\phi } = tan^{-1}(\frac{X_{imag}(m)}{X_{real}(m)})

由DFT公式推到可以知道当fm = f0时，模值最大，既在峰值处的相位就是f0信号对应的相位（角度）

  

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