Rabin-Miller素数测试

本文不证正确概率，因为我不会
判断大整数是否为质数

前提定理

1. 费马小定理：若 $n$为质数，$a<n$，则 $a^{n-1}\equiv 1\ (mod\ n)$；若任意整数$x$满足$a^{x-1}\equiv 1\ (mod\ x)$，则$x$有很大概率为质数；
2. 定理2：若$p$为大于2的质数，则$a^2\equiv 1\ (mod\ p)$的解只能为$a\equiv 1$或$a\equiv -1$；

Rabin-Miller素数测试

若待测数$n$为大于2的质数，则$n-1$为偶数
设$n-1=2^s\times d$
随机一个小于$n$的整数$a$
$a^{2^s\times d}\equiv1\ (mod\ n)$
${(a^{2^{s-1}\times d})}^2\equiv1\ (mod\ n)$
$a^{2^{s-1}\times d}\equiv1\ (mod\ n)$或$a^{2^{s-1}\times d}\equiv-1\ (mod\ n)$
若为1，还可以继续递归，直到得到-1或者得到 $a^d\equiv ±1\ (mod\ n)$

实现时，要倒着来
首先计算出$a^d$，判断其是否为$±1$
然后不停的平方，得到$a^{2\times d},a^{2^2\times d},a^{2^3\times d}...a^{2^s\times d}$
直到中途某一步得到了$-1$，则通过测试。
如果中途在得到-1之前，得到了1，则说明该数通过某一个不等于±1的数平方得到了1，不满足定理2，则该数测试不通过

一般都要随机取很多$a$，测试多次才能提高概率。

但是在OI中，用这一串a就行了
$\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$
它保证$3,825,123,056,546,413,051$以内的数计算正确（已经超过long long）

代码

版题：HDU2138

#include<cstdio>
const int TEST_VAL[]={
   2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41},TEST_NUM=13;

long long PowMod(long long a,long long b,long long p)
{
    long long res=1LL;
    while(b)
    {
        if(b&1LL)
            res=1LL*res*a%p;
        a=1LL*a*a%p;
        b>>=1LL;
    }
    return res;
}

bool MillerRabin(long long a,long long n,long long d)
{
    long long x=PowMod(a,d,n);
    if(x==1||x==n-1)
        return true;
    while(d<n-1)
    {
        x=1LL*x*x%n;
        d=d*2LL;
        if(x==1)
            return false;
        if(x==n-1)
            return true;
    }
    return false;
}
bool isPrime(long long x)
{
    if(x<10)
    {
        if(x==2||x==3||x==5||x==7)
            return true;
        return false;
    }
    long long d=x-1;
    while((d&1LL)==0)
        d>>=1LL;
    for(int i=0;i<TEST_NUM;i++)
        if(TEST_VAL[i]<x&&!MillerRabin(TEST_VAL[i],x,d))
            return false;
    return true;
}

int main()
{
    int n,ans;
    long long x;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        ans=0;
        while(n--)
        {
            scanf("%I64d",&x);
            ans+=isPrime(x);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }

    return 0;
}