有限元学习知识点备案

1、悬臂梁扰度理论计算

• 梁长 150mm，宽 2.5mm，高 5mm；一端固定；自由端承受 5N 的荷载。材料的
  杨氏模量 E 为 70GPa，泊松比为 0.0。采用梁的理论，在载荷 P 作用下，梁自由
  端的挠度为
  

其中
， l 是长度， b 是宽度， d 是梁的高度。
P = 5N 时自由端挠度是 3.09mm。

2、完全积分 剪力锁闭

• 所谓“完全积分”是指当单元具有规则形状时，所用的 Gauss 积分点的数目
  足以对单元刚度矩阵中的多项式进行精确积分。对六面体和四边形单元而言，所
  谓“规则形状”是指单元的边相交成直角，而任何的节点位于边的中点。线性单
  元如要完全积分，则在每一方向需要两个积分点。因此，三维单元 C3D8 在单元
  中排列了 2x2x2 个积分点。而二次单元如要完全积分则在每一方向需要 3 个积分
  点。在完全积分的二维四边形单元中积分点的位置如图 4-2 所示。
  
  图 4－2 完全积分时，二维四边形单元中的积分点

• 如图 4－3 所示，我们采用了几种不同的有限元网格来对悬臂梁问题进行模
  拟。模拟采用了线性或二次的完全积分单元，并说明了单元阶数(一阶与二阶)和
  网格密度对结果精度的影响。

• 表 4－1 列出了不同网格情况下自由端位移与梁的理论解 3.09mm 的比值。
  用线性单元 CPS4 和 C3D8 所得的挠度值是如此之差以至于其结果是不可用的。
  网格越粗，结果的精度越差，但即使网格划分得相当细(8x24)，得到的位移仍只
  是理论值的 56%。注意到对线性完全积分单元而言，在厚度方向单元的剖分数并
  不会造成什么差异。这是由剪力锁闭引起的，它是对所有完全积分的一阶实体单
  元都存在的问题。
  
  图 4－3 悬臂梁模拟所采用的网格
  表 4 －1 完全积分单元的梁挠度比值
  

• 正如我们已经看到的，剪力锁闭使单元在弯曲时过于刚硬。对之可作如下解
  释：考虑一个受纯弯的结构中的一小块材料，材料将产生的弯曲如图 4－4 所示。
  开始时平行于水平轴的直线按常曲率弯曲，而厚度方向的直线将保持为直线。水
  平线与竖直线之间的夹角保持 90度 。

• 因为线性单元的边不能弯曲，所以，如果用单个单元来模拟小块材料，则其
  变形后的形状如图 4－5 所示。
  
  图 4－4 受弯曲材料的变形
  
  图 4－5 受弯曲的完全积分线性单元的变形

• 为清楚起见，画出了通过积分点的虚线。很明显，上部直线的长度增加，这说明 1 方向的应力，σ11 ，是拉伸的。类似地，下部直线的长度缩短，说明σ11 是压缩的。竖直直线的长度没有改变(假设位移很小)。因此，所有积分点上的σ22 为零。所有这些结论与受纯弯的小块材料所预计的应力状态是一致的。但是在每一个积分点，竖直线与水平线之间夹角开始时是 90度 ，变形后改变了。这说明每一点的剪应力 σ12 不为零。这是不正确的：纯弯时一小块材料中的剪应力应为零。

• 出现这个伪剪应力的原因是因为单元的边不能弯曲。它的存在意味着应变能导致剪切变形，而不是导致弯曲变形，其结果导致总的挠度变小了：即单元太刚硬了。剪力锁闭只影响受弯曲载荷的完全积分线性单元，这些单元的功能在受纵向或剪切荷载时并没有问题。而二次单元的边界可以弯曲(见图 4－6)，故它没有剪力锁闭的问题。对表 4－1 所示的二次单元，计算所得的自由端位移接近于理论解。但是，如果二次单元扭曲或弯曲应力有梯度，则也可能出现某些锁闭现象，而这两种情况在实际问题中是可能发生的。

• 只有在确认载荷将产生小弯曲时，才可采用完全积分的线性单元。而如果对载荷产生的位移类型有怀疑，则应采用不同的单元类型。在复杂应力状态下，完全积分的二次单元也可能发生锁闭。因此如果在模型中有此类单元，则应细心地检查计算的结果。但是，对于局部应力集中问题，完全积分的线性单元是非常有用的。
  
  图 4－6 受弯曲的完全积分二次单元的变形

3、减缩积分 沙漏 (hourglassing)

• 只有四边形和六面体单元才能采用减缩积分；而所有的楔形体、四面体和三角形实体单元只能采用完全积分，即使它们与减缩积分的六面体或四边形单元用在同一个网格中。
• 减缩积分单元比完全积分单元在每个方向少用一个积分点。减缩积分的线性单元只在单元中心有一个积分点。（实际上，在 ABAQUS 中这些一阶单元采用了更精确的均匀应变公式，对此单元计算了其应变分量的平均值。在这里的讨论中此种区别是不重要的）。对减缩积分四边形单元，积分点的位置如图 4－7 所示：
  
  图 4－7 采用减缩积分的二维单元的积分点
• 利用前叙的四类单元及图 4－3 所示的四种有限元网格，通过减缩积分来对悬臂梁问题进行计算，其结果列于表 4－2。
  表 4－2 减缩积分单元的梁挠度比值：
  
• 线性的减缩积分单元由于存在着所谓沙漏 (hourglassing) 的数值问题而过于柔软。再一次考虑用单个减缩单元模拟受纯弯载荷的小块材料（见图 4－8）。
  
  图 4－8 受弯曲的减缩积分线性单元的位移
• 单元中虚线的长度均没有改变，并且它们的夹角也没有改变，这意味着在单元单个积分点上的所有应力分量都为零。由于单元变形没有产生应变能，所以这种弯曲的变形模式是一个零能量模式。由于单元在此模式下没有刚度，所以不能抵抗此种形式的位移。在粗网格中，这种零能量模式会通过网格扩展出去，从而产生无意义的结果，这就是所谓的沙漏问题。
• 可在 ABAQUS 中对减缩积分单元引入少量的人工“沙漏刚度”以限制沙漏模式的扩展。当模型中有更多的单元时，这种刚度在限制沙漏模式方面是更有效的，这意味着只要采用合理的细网格，线性减缩积分单元会给出可接受的结果。对许多应用而言，采用细网格的线性减缩积分单元所产生的误差是在一个可接受的范围内的。这个结果说明当用这类单元来模拟承受弯曲载荷的结构时，在厚度方向上至少应采用四个单元。当在梁的厚度方向只有一个线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于中性轴上，从而该模型将不能抵抗弯曲载荷。(这种情况在表 4－2 中用*标出)。
• 因为线性减缩积分单元对变形的鲁棒性，因此可在变形很大的模拟中采用剖分较细的此类单元。
• 二次减缩积分单元也有沙漏模式。然而在正常网格中这种模式几乎不可能扩展出去，并且在网格足够细时基本上不会造成什么问题。由于沙漏问题,C3D20R单元的 1x6 网格计算发散；若在宽度方向上变为两个单元，即 2×6 网格，就不会发散，但对于更细的网格，即便在宽度方向上只有一个单元也不会发散。即使在复杂应状态下，二次减缩积分单元对锁闭并不敏感。因此一般来说，除了大应变的大位移问题和一些接触分析问题外，这些单元是应力/位移模拟最佳选择。

4、非协调单元

• 非协调单元是克服完全积分的一阶单元的剪力锁闭问题的一种尝试。既然剪力锁闭是由于单元的位移场不能模拟与弯曲相关的运动学而引起的，那么可以考虑把增强单元变形梯度的附加自由度引入到一阶单元中去。对变形梯度的加强使一阶单元在单元中的变形梯度呈线性变化，如图 4－9(a)所示。在标准单元列式中，变形梯度在单元中是常量，见图 4－9(b)所示，故标准单元列式必然导致与剪力锁闭相关的非零剪切应力。变形梯度的增强完全是在单元内部的，并且与边节点无关。与直接增强位移场的非协调模式的单元列式不同，在 ABAQUS 中所采用的列式不会导致图 4－10 那样的两个单元交界处的重叠或裂隙，进而 ABAQUS中的非协调单元列式很容易拓广到非线性有限应变模拟以及某些难以采用增强位移场的场合。
  
  图 4－9 位移梯度的变化 (a) 非协调单元（增强位移梯度）和 (b) 采用标准构造的一阶单元
• 在弯曲问题中，非协调元可得到与二次单元相当的结果，而计算费用却明显降低。但非协调元对单元扭曲很敏感。图 4－11 表示用有意扭歪的非协调单元来模拟悬臂梁：一种情况是“平行”扭歪，另一种是“交错”扭歪。
• 图 4－12 画出了悬臂梁模型的自由端位移相对于单元扭歪水平的曲线。图中比较了三类平面应力单元：完全积分的线性单元、减缩积分的二次单元以及线性非协调单元。象所预见的那样，完全积分的线性单元的结果较差。而减缩积分的二次单元则给出了很好的结果，直到单元扭歪得很严重时其结果才会恶化。
• 当非协调单元是矩形时，即使在悬臂的厚度方向只有一个单元，也能给出与理论值十分相近的结果。但是即使很小的交错扭歪也使单元过于刚硬。平行扭歪也降低了单元的精度，但程度较小。
  
  图 4－11 非协调单元的扭歪网格
  
  图 4－12 平行和交错扭曲对非协调单元的影响
• 非协调单元之所以有用，是因为如果应用得当，则在很低花费时仍可得到较高的精度。但是必须注意保证单元扭歪是非常小的，然而当网格较复杂时这一点是很难保证的；因此，对于具有这种几何形状的模型，应再次考虑应减缩积分的二次单元，因为它们对网格扭歪并不敏感。

5、杂交单元

• ABAQUS 中的每一种实体单元，包括所有的减缩积分单元和非协调单元，都还有杂交单元列式。杂交单元名字前标有字母“H”。
• 对不可压缩材料（泊松比＝0.5）或非常接近于不可压缩的材料（泊松比>0.495）问题需采用杂交单元。
• 橡胶就是具有不可压缩性质的材料的例子。不能用常规单元来模拟不可压缩材料的响应（除了平面应力情况），这是因为在单元中的压应力是不确定的。现在考虑均匀静水压力作用下的一个单元。
  
  图 4－13 在静水压力下的单元
• 如果材料不可压缩，其体积在载荷作用下并不改变。因此压应力不能由节点位移计，对于具有不可压缩材料性质的单元，一个纯位移列式是不适定的。
• 杂交单元包含一个可直接确定单元压应力的附加自由度。其节点位移只用来
  计算偏（剪）应变和偏应力。

5、怎么选择单元类型

• 对某一具体的模拟计算，如果要想以合理的费用达到精确的结果，则正确地选择单元是非常关键的。在使用 ABAQUS 的经验日益丰富时，毫无疑问每个用户会建立起自己的单元选择准则来解决具体问题，但若是刚开始使用 ABAQUS，则可考虑下面的建议：
• 如果不需要模拟非常大的应变或进行复杂的需改变接触条件的问题，则应采用二次减缩积分单元（CAX8R，CPE8R，CPS8R，C3D20R 等）。
• 如果存在应力集中，则应在局部采用二次完全积分单元（CAX8，CPE8，CPS8，C3D20 等）。它们可用最低费用提供应力梯度最好的解答。
• 涉及到有非常大的网格扭曲问题（大应变分析），建议采用细网格剖分的线性减缩积分单元（CAX4R，CPE4R，CPS4R，C3D8R 等）。
• 对接触问题采用线性减缩积分单元或细分的非协调单元（CAX4I，CPE4I，PS4II，C3D8I 等）。
• 尽可能地减少网格形状的扭歪，形状扭歪的粗网格线性单元会导致非常差的结果。
• 对三维问题应尽可能采用六面体单元。它们以最小费用给出最好的结果。当几何形状复杂时，完全采用六面体单元构造网格往往难以办到；因此可能需要采用楔形和四面体单元。众所周知，这些形状的一阶单元，如 C3D6 和C3D4，是较差的单元；若要取得较好的精度，需剖分很细的网格，因此，只有在为了完成网格建模而万不得已的情况下才会应用这些单元，即使如此，这些单元也应远离精度要求较高的区域。
• 一些前处理程序包含了自由网格算法，它们可用四面体单元构造任意形状的网格。只要采用二次四面体单元（C3D10），除了接触问题，其结果对小位移问题应该是合理的。C3D10 单元的修正单元 C3D10M 对大变形问题、接触问题有鲁棒性，并表现出最小剪切和体积锁闭性质。但无论采用何种四面体单元，计算所花费的时间都多于采用相应密度的六面体单元。建议不采用只包含线性四面体单元（C3D4）的网格，因为如果不用大量的单元其结果将是不准确的。