MCS：离散随机变量——Pascal分布

Pascal

帕斯卡分布，负二项分布的正整数形式。当变量$x$表示某项实验获得$k$次成功时，实验重复的次数，变量$x$服从帕斯卡分布,实验成功概率为：$p$。

$$P(x)=C_{k-1}^{x-1}{p}^k(1-p{)}^{x-k}，x=k,k+1,...$$

$$F(x)=\sum _{y=k}^{x}P(y)，x=k,k+1,...$$

期望和方差：

$$E(x)=\frac{k}{p}$$

$$V(x)=\frac{k(1-p)}{p^2}$$

当变量$x^{\prime }$定义为获得$k$次成功时，失败的次数，$x^{\prime }=x-k$：

• $E(x^{\prime })=E(x)-k=k(1-p)/p$
• $V(x^{\prime })=V(x)=k(1-p)/p^2$

生成Pascal变量：$x$

1. $x=0$
2. For $i=1\to k$:
   • 生成随机几何变量$y=G(p)$：第一次成功时实验的次数
   • $x=x+y$
   • $i=i+1$
3. Return $x$

例：变量$x$为帕斯卡变量，$p=0.5，k=5$，$x$表示为获得第5次成功时，实验重复的次数，生成变量$x$。

1. $x=0$
2. $i=1，y=G(0.5)=3，x=3$
3. $i=2，y=G(0.5)=1，x=4$
4. $i=3，y=G(0.5)=2，x=6$
5. $i=4，y=G(0.5)=4，x=10$
6. $i=5，y=G(0.5)=2，x=12$
7. $x=12$

模拟生成Pascal变量

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_pascal(k=5, p=0.1):
    x = np.sum(np.random.geometric(p=p, size=(k)))
    return x