【高等数学】从法向量到第二类曲面积分

从法向量到第二类曲面积分

一、引言

我在看到第二类曲线积分的公式时候，对于其中的正负号很困惑，教材上给出了结论：法线和相对应的坐标轴的夹角为锐角时取“+”，否则取负号。然而，不知道其正负号的根源会让心不得安，因此我稍微探究了一下。

分面投影法：

$$\begin{array}{rl}{\iint }_S\mathbf{F}(x,y,z)\cdot d\mathbf{S}& ={\iint }_{D_{yz}}\pm P[x(y,z),y,z]dydz+{\iint }_{D_{xz}}\pm Q[x,y(x,z),z]dxdz+{\iint }_{D_{xy}}\pm R[x,y,z(x,y)]dxdy\end{array}$$

合一投影法：

$$\begin{array}{rl}{\iint }_S\mathbf{F}(x,y,z)\cdot d\mathbf{S}& ={\iint }_S\mathbf{F}(x,y,z)\cdot {\mathbf{n}}_0(x,y,z)dS\\ & =\pm {\iint }_{D_{xy}}\mathbf{F}(x,y,z)\cdot (-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1)dxdy\end{array}$$

二、法线和切平面

1. 平面的表示

首先，要知道，一个平面的显式表示和隐式表示：

• 隐式： $F(x,y,z)=0$；

• 显式：$z=z(x,y)$。

实际上，显式表示是一种几何学上的参数化，其逆过程是隐式化，可表示为：$F(x,y,z)=z-z(x,y)=z(x,y)-z=0$

2. 法向量

现在在平面上任意找一个点$M(x_0,y_0,z_0)$

那么，这一点的法向量可以

• 用梯度表示为：$\nabla \mathbf{F}(x,y,z)$；

• 或者用偏导数的外积表示为：$\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial x}\times \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial y}$或者$\frac{\partial \mathbf{X}}{\partial y}\times \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial x}$，这里的X是曲面坐标，比如三维空间里面，使用z(x,y)进行参数化，那么得到的曲面坐标为**(x,y,z(x,y))**。

对于显示表示的平面的法向量，可表示为：$\mathbf{n}(x,y)=(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1)$ 或者$\mathbf{n}(x,y)=(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},-1)$，此时法向量的值只和x、y有关

我非常刻意地将法向量写成了两种表示形式，这是因为对于一个有向曲面而言有两侧。现在最关键的两句话是：
1. 若采用z(x,y)进行参数化，其法向量$\mathbf{n}(x,y)=(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y},1)$一定是指向天，$\mathbf{n}(x,y)=(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},-1)$一定指向地；
1. 若采用z(x,y)进行参数化，一定要保证函数$z=z(x,y)$是单值函数。

现在如果我们关注的一片曲面，是一个右半球，那么采用**y(x,z)**进行参数化，更加方便，此时曲面坐标只和x、z有关。那么其其法向量$\mathbf{n}(x,z)=(-\frac{\partial y}{\partial x},1,-\frac{\partial y}{\partial z})$一定是指向东，$\mathbf{n}(x,z)=(\frac{\partial y}{\partial x},-1,\frac{\partial y}{\partial z})$一定指向西。

现在如果我们关注的一片曲面，是一个前半球，那么采用**x(y,z)**进行参数化，更加方便，此时曲面坐标只和y、z有关。那么其其法向量$\mathbf{n}(y,z)=(1,-\frac{\partial x}{\partial y},-\frac{\partial x}{\partial z})$一定是指向南，$\mathbf{n}(y,z)=(-1,\frac{\partial x}{\partial y},\frac{\partial x}{\partial z})$一定指向北。

三、第二类曲面积分

$$\begin{array}{rl}{\iint }_S\mathbf{F}(x,y,z)\cdot d\mathbf{S}& ={\iint }_S\mathbf{F}(x,y,z)\cdot {\mathbf{n}}_0(x,y,z)dS\\ & ={\iint }_S\{P(x,y,z){\mathbf{n}}_0(x,y,z)\cdot [1,0,0]+Q(x,y,z){\mathbf{n}}_0(x,y,z)\cdot [0,1,0]+R(x,y,z){\mathbf{n}}_0(x,y,z)\cdot [0,0,1]\}dS\\ & ={\iint }_S[P(x,y,z)\cos \alpha +Q(x,y,z)\cos \beta +P(x,y,z)\cos \gamma ]dS\end{array}$$

有向曲面的面积微元是带有方向的，其方向由你选择的曲面的侧决定，比如选择了曲面的前侧那么其法向量一定是指向南，此时的法向量将会是$\mathbf{n}(y,z)=(1,-\frac{\partial x}{\partial y},-\frac{\partial x}{\partial z})$。

顺便说一下合一投影法和分面投影法：

1. 合一投影法：就是上式的第一步等式，结果是投影向某一个平面上的，比如选择**z=z(x,y)**的参数化方式，那么结果将投影到xOy平面上。
2. 分面投影法：就是上式的第二步等式，三个法向量可以采用不同的参数化方式，比如对于x轴方向上的P(x,y,z)，就用x=x(y,z)，然后投影到yOz平面；对于z轴方向的R(x,y,z)，就用z=z(x,y)，然后投影到xOy平面上。

这里，通过向量[1,0,0] 、[0,1,0]、 [0,0,1]其实就将法向量的偏导数部分归零了。我们发现，从这个角度去理解，合一投影法和分面投影法没有本质上的区别。