冲刺强基计划数学物理专题一

1. 强基计划数学物理模拟卷

本人出了一套强基计划数学物理模拟试题，适合有一定基础的高考生。由于本人水平有限，若存在疏漏还请诸位大佬批评指正！

2. 高斯函数专题

对应到模拟卷第一题第一问。解方程：

移项得：

由高斯函数的性质：
因此综合可得：

解不等式得：或

下面分情况讨论：

1. 当 时， ，此时原方程即为 ，解得 .结合 的范围，取 .
2. 当 时， ，此时原方程即为 ，解得 .结合 的范围，取 .
3. 当 时， ，此时代入原方程得 成立。 综上， 或 或 .

3. 复数与单位根专题

对应到模拟卷第一题第二问。

已知，且.

则容易知道是方程在复数域上的全部根。那么方程又可以写成：

对比系数不难得出：

因此，，则有

4. 椭圆面积与坐标系变换

4.1 伸缩变换

对应到模拟卷第二题第一问。

记椭圆（或圆）的面积为

方法一：

由对称性可得：

方法二：

利用坐标系变换：

则椭圆（或圆）可化为：

设变化后的面积为，则有对应关系：

因此可得椭圆（或圆）的面积为

4.2 旋转变换

对应到模拟卷第二题第二问。

坐标系上任一点绕坐标原点逆时针旋转后的坐标为：

利用三角函数公式可展开为：

在矩阵的视角下，可以写为：

在直角坐标系下，假设变换前的坐标为(x,y)，绕坐标原点旋转后的坐标记为.

则有：

首先将圆锥曲线化为：

记矩阵

则矩阵可以对角化：

则有：

令：

则等式左边可化简为：

等式右边即为：

而由椭圆方程：

因此有：

记为椭圆

由此可知，椭圆逆时针旋转（即顺时针旋转）后可得到椭圆

由模拟卷第二题第一问所得椭圆（或圆）面积公式可知，椭圆的面积为

由于面积的旋转不变性，可得圆锥曲线的面积也为.

未完待续