【模板】【luogu P4630】Duathlon 铁人两项（圆方树）

Duathlon 铁人两项

题目链接：luogu P4630

题目大意

给你一个无向图，然后你可以按顺序选三个点 a,b,c，保证 a 可以到 b，b 可以到 c，而且存在方案使得这两个路径的交点只有 b。
然后问你有多少个满足的三元组。

思路

首先如果这个是森林的话那我们可以很好的搞。
（反正各种方法随便你）

那我们现在是一个图，那就不好搞了。
那我们考虑能不能把它变成树？于是就可以用圆方树了。

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圆方树

在讲圆方树之前，让我们先给出一些定义：

点双连通图

如果是有向图，就有一个强连通图。那无向图就会有一个点双连通图和一个边双连通图。
边双连通子图这里没用到就不说了，我们给出点双连通的子图的定义：图中任意两不同点之间都有至少两条点不重复的路径。
（因为一个点的比较不好搞所以我们默认没有孤立点，如果题目中有就按照题目要求特殊处理）

然后你会发现有一个近似等价的定义是不存在割点的图。
发现反例只有两个点一条边的情况（或者你也可以认为不是反例，因为你起点终点一定要重复的）

点双连通分量

跟强连通分量一样，就是一个图的极大点双连通子图。
但是你如果画个图你不难发现就是一个点是可能在若干个点双中的，但是一个边只会在一个中。

圆方树

那在圆方树中，我们把原来的点看做原点，每个点双对应一个方点。
（不难看出方点数量最多为 $n$，所以记得总共要开 $2n$）
然后一个方点向它点双里面的点（原点）连边。
然后这个图就变成了若干格菊花，每个菊花通过原图的割点连接起来。

然后你不难想象任意一套树上路径都是圆方点交错的。

建

考虑用类似 Tarjan 的方法。
那因为无向图，所以我们找到新点的时候更新 $low$ 是跟 $low$ 更新，找到原来的点的时候就要跟 $dfn$ 更新。
那你会发现也是找环的顶端，那条件就是 $df{n}_u=lo{w}_x$（然后 $u$ 就是最顶端）

然后你就可以建出来了。

这道题

那如果是树上的很好搞，我们考虑把环通过圆方树弄成树，然后看看方点那边要怎么处理。

然后我们其实会发现你一个点双里面任意两个点之间，对于其他的每个点都有一种方法可以走过。
（小小证明就是你可以把这个点双拉成一个环，然后就没啦）

然后你就发现如果你要经过一个方点，你里面的点都可以经过，那我们可以把方点的权值赋做它点双的大小，然后路径上的方点的权值和就是固定了 $s,f$ 满足条件的 $c$ 的个数。
然后你发现你算重了，因为相邻的两个方点之间是通过点连接起来的，所以每个点其实都会充当一个连接的位置，所以我们要把点的权值弄成 $-1$。

然后这里是要求所有的，我们就小小树形 DP 一下，考虑每个点对所有包含他的路径的贡献即可。
（子树内部，子树和外面）

代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<iostream>
#define ll long long

using namespace std;

const int N = 1e5 + 100;
int n, m;
vector <int> G[N];

struct YF_tree {
    
	int dfn[N], low[N], sta[N], tot, deg[N << 1], fa[N << 1][21];
	int val[N << 1], num, sz[N << 1];
	vector <int> GG[N << 1];
	ll ans;
	
	void link(int x, int y) {
    
		GG[x].push_back(y); GG[y].push_back(x);
	}
	
	void tarjan(int now) {
    
		dfn[now] = low[now] = ++dfn[0]; sta[++sta[0]] = now; num++;
		for (int i = 0; i < G[now].size(); i++) {
     int x = G[now][i];
			if (!dfn[x]) {
    
				tarjan(x); low[now] = min(low[now], low[x]);
				if (dfn[now] == low[x]) {
    
					tot++;
					while (sta[sta[0]] != x) {
    
						link(sta[sta[0]], tot);
						sta[0]--; val[tot]++;
					}
					link(sta[sta[0]], tot); sta[0]--; val[tot]++;
					link(now, tot); val[tot]++;
				}
			}
			else low[now] = min(low[now], dfn[x]);
		}
	}
	
	void dfs(int now, int father) {
    
		if (now <= n) sz[now] = 1;
		for (int i = 0; i < GG[now].size(); i++) {
     int x = GG[now][i];
			if (x != father) {
    
				dfs(x, now);
				ans += 2ll * sz[now] * sz[x] * val[now];
				sz[now] += sz[x];
			}
		}
		ans += 2ll * sz[now] * (num - sz[now]) * val[now];
	}
	
	void Init() {
    
		tot = n; for (int i = 1; i <= n; i++) val[i] = -1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dfn[i]) num = 0, tarjan(i), dfs(i, 0);
	}
}T;

int main() {
    
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
    
		int x, y; scanf("%d %d", &x, &y);
		G[x].push_back(y); G[y].push_back(x);
	}
	
	T.Init();
	
	printf("%lld", T.ans);
	
	return 0;
}