当前位置：网站首页>系统线性、时不变、因果判断

系统线性、时不变、因果判断

2022-08-02 14:08:00 【一念山河成706】

系统线性、时不变、因果判断

前言

前面对下面各种类型题目一步步分析，带读者进行计算和分析。在总结部分给出判断使用的方法。

给出下面系统响应和激励的关系，判断系统是否为线性的、时不变的、因果的？（给出的题目来自《信号与系统引论》郑君里 应启衍 杨为理 第一章课后习题1-20）

  1. r ( t ) = d e ( t ) d t r(t)=\frac{\mathrm{d} e(t)}{\mathrm{d} t} r(t)=dtde(t)​
  2. r ( t ) = e ( t ) u ( t ) r(t)=e(t)u(t) r(t)=e(t)u(t)
  3. r ( t ) = e ( 1 − t ) r(t)=e(1-t) r(t)=e(1−t)
  4. r ( t ) = e ( 2 t ) r(t)=e(2t) r(t)=e(2t)
  5. r ( t ) = e 2 ( t ) r(t)=e^2(t) r(t)=e2(t)
  6. r ( t ) = ∫ − ∞ t e ( τ ) d τ r(t)=\int_{-\infty }^{t} e(\tau )d\tau r(t)=∫−∞t​e(τ)dτ
  7. r ( t ) = ∫ − ∞ 5 t e ( τ ) d τ r(t)=\int_{-\infty }^{5t} e(\tau )d\tau r(t)=∫−∞5t​e(τ)dτ

系统线性判断

  1. e 1 ( t ) * d e 1 ( t ) d t = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow \frac{\mathrm{d} e_1(t)}{\mathrm{d} t} =r_1(t) e1​(t)*dtde1​(t)​=r1​(t)
    e 2 ( t ) * d e 2 ( t ) d t = r 2 ( t ) e_2(t)\longrightarrow \frac{\mathrm{d} e_2(t)}{\mathrm{d} t} =r_2(t) e2​(t)*dtde2​(t)​=r2​(t)
    a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) * a d e 1 ( t ) d t + b d e 2 ( t ) d t = a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow a \frac{\mathrm{d} e_1(t)}{\mathrm{d} t}+b\frac{\mathrm{d} e_2(t)}{\mathrm{d} t}=ar_1(t)+br_2(t) ae1​(t)+be2​(t)*adtde1​(t)​+bdtde2​(t)​=ar1​(t)+br2​(t)
    判断系统为线性的
  2. e 1 ( t ) * e 1 ( t ) u ( t ) = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow e_1(t)u(t)=r_1(t) e1​(t)*e1​(t)u(t)=r1​(t)
    e 2 ( t ) * e 2 ( t ) u ( t ) = r 2 ( t ) e_2(t)\longrightarrow e_2(t)u(t)=r_2(t) e2​(t)*e2​(t)u(t)=r2​(t)
    a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) * a e 1 ( t ) u ( t ) + b e 2 ( t ) u ( t ) = a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow ae_1(t)u(t)+be_2(t)u(t)=ar_1(t)+br_2(t) ae1​(t)+be2​(t)*ae1​(t)u(t)+be2​(t)u(t)=ar1​(t)+br2​(t)
    判断系统为线性的
  3. e 1 ( t ) * e 1 ( 1 − t ) = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow e_1(1-t)=r_1(t) e1​(t)*e1​(1−t)=r1​(t)
    e 2 ( t ) * e 2 ( 1 − t ) = r 2 ( t ) e_2(t)\longrightarrow e_2(1-t)=r_2(t) e2​(t)*e2​(1−t)=r2​(t)
    a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) * a e 1 ( 1 − t ) + b e 1 ( 1 − t ) = r 1 ( t ) + r 2 ( t ) ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow ae_1(1-t)+be_1(1-t)=r_1(t)+r_2(t) ae1​(t)+be2​(t)*ae1​(1−t)+be1​(1−t)=r1​(t)+r2​(t)
    判断系统为线性
  4. e 1 ( t ) * e 1 ( 2 t ) = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow e_1(2t)=r_1(t) e1​(t)*e1​(2t)=r1​(t)
    e 2 ( t ) * e 2 ( 2 t ) = r 2 ( t ) e_2(t)\longrightarrow e_2(2t)=r_2(t) e2​(t)*e2​(2t)=r2​(t)
    a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) * a e 1 ( 2 t ) + b e 1 ( 2 t ) = a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow ae_1(2t)+be_1(2t)=ar_1(t)+br_2(t) ae1​(t)+be2​(t)*ae1​(2t)+be1​(2t)=ar1​(t)+br2​(t)
    判断系统为线性

e 1 ( t ) * e 1 2 ( t ) = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow e_1^2(t)=r_1(t) e1​(t)*e12​(t)=r1​(t)
e 2 ( t ) * e 2 2 ( t ) = r 2 ( t ) e_2(t)\longrightarrow e_2^2(t)=r_2(t) e2​(t)*e22​(t)=r2​(t)
a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) * ( a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) 2 ≠ a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow (ae_1(t)+be_2(t)^2\neq ar_1(t)+br_2(t) ae1​(t)+be2​(t)*(ae1​(t)+be2​(t)2​=ar1​(t)+br2​(t)
判断系统为非线性
6. e 1 ( t ) * ∫ − ∞ t e 1 ( τ ) d τ = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{t} e_1(\tau )d\tau=r_1(t) e1​(t)*∫−∞t​e1​(τ)dτ=r1​(t)
e 2 ( t ) * ∫ − ∞ t e 2 ( τ ) d τ = r 1 ( t ) e_2(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{t} e_2(\tau )d\tau=r_1(t) e2​(t)*∫−∞t​e2​(τ)dτ=r1​(t)
a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) * a ∫ − ∞ t e 1 ( τ ) d τ + b ∫ − ∞ t e 2 ( τ ) d τ = a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow a\int_{-\infty }^{t} e_1(\tau )d\tau+b \int_{-\infty }^{t} e_2(\tau )d\tau=ar_1(t)+br_2(t) ae1​(t)+be2​(t)*a∫−∞t​e1​(τ)dτ+b∫−∞t​e2​(τ)dτ=ar1​(t)+br2​(t)
判断系统为线性
7. e 1 ( t ) * ∫ − ∞ 5 t e 1 ( τ ) d τ = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5t} e_1(\tau )d\tau=r_1(t) e1​(t)*∫−∞5t​e1​(τ)dτ=r1​(t)
e 2 ( t ) * ∫ − ∞ 5 t e 2 ( τ ) d τ = r 1 ( t ) e_2(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5t} e_2(\tau )d\tau=r_1(t) e2​(t)*∫−∞5t​e2​(τ)dτ=r1​(t)
a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) * ∫ − ∞ 5 t [ a e 1 ( τ ) + b e 2 ( τ ) ] d τ = a ∫ − ∞ 5 t e 1 ( τ ) d τ + b ∫ − ∞ 5 t e 2 ( τ ) d τ = a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) ae_1(t)+be_2(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5t} [ae_1(\tau )+be_2(\tau )]d\tau=a\int_{-\infty }^{5t} e_1(\tau )d\tau+b \int_{-\infty }^{5t} e_2(\tau )d\tau=ar_1(t)+br_2(t) ae1​(t)+be2​(t)*∫−∞5t​[ae1​(τ)+be2​(τ)]dτ=a∫−∞5t​e1​(τ)dτ+b∫−∞5t​e2​(τ)dτ=ar1​(t)+br2​(t)
判断系统为线性

系统时不变判断

1. e 1 ( t ) * d e 1 ( t ) d t = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow \frac{\mathrm{d} e_1(t)}{\mathrm{d} t} =r_1(t) e1​(t)*dtde1​(t)​=r1​(t)
e 2 ( t ) = e 1 ( t − t 0 ) * d e 1 ( t − t 0 ) d t = r 1 ( t − t 0 ) e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow \frac{\mathrm{d} e_1(t-t_0)}{\mathrm{d} t} =r_1(t-t_0) e2​(t)=e1​(t−t0​)*dtde1​(t−t0​)​=r1​(t−t0​)
判断系统时不变
2. e 1 ( t ) * e 1 ( t ) u ( t ) = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow e_1(t)u(t)=r_1(t) e1​(t)*e1​(t)u(t)=r1​(t)
e 2 ( t ) = e 1 ( t − t 0 ) * e 1 ( t − t 0 ) u ( t ) = r 2 ( t ) e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow e_1(t-t_0)u(t)=r_2(t) e2​(t)=e1​(t−t0​)*e1​(t−t0​)u(t)=r2​(t)
而 r 1 ( t − t 0 ) = e 1 ( t − t 0 ) u ( t − t 0 ) ≠ r 2 ( t ) r_1(t-t_0)=e_1(t-t_0)u(t-t_0)\neq r_2(t) r1​(t−t0​)=e1​(t−t0​)u(t−t0​)​=r2​(t)，故系统为时变的

  1. e 1 ( t ) * e 1 ( 1 − t ) = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow e_1(1-t)=r_1(t) e1​(t)*e1​(1−t)=r1​(t)
    e 2 ( t ) = e 1 ( t − t 0 ) * e 1 [ 1 − ( t − t 0 ) ] = e 1 ( 1 + t 0 − t ) = r 2 ( t ) e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow e_1[1-(t-t_0)]=e_1(1+t_0-t)=r_2(t) e2​(t)=e1​(t−t0​)*e1​[1−(t−t0​)]=e1​(1+t0​−t)=r2​(t)
    而 r 1 ( t − t 0 ) = e 1 [ ( 1 − t ) − t 0 ] ≠ r 2 ( t ) r_1(t-t_0)=e_1[(1-t)-t_0] \neq r2(t) r1​(t−t0​)=e1​[(1−t)−t0​]​=r2(t)
    故系统为时变的
  2. e 1 ( t ) * e 1 ( 2 t ) = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow e_1(2t)=r_1(t) e1​(t)*e1​(2t)=r1​(t)
    e 2 ( t ) = e 1 ( t − t 0 ) * e 1 [ 2 ( t − t 0 ) ] = r 2 ( t ) e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow e_1[2(t-t_0)]=r_2(t) e2​(t)=e1​(t−t0​)*e1​[2(t−t0​)]=r2​(t)
    而 r 1 ( t − t 0 ) = e 1 [ ( 2 t ) − t 0 ] ≠ r 2 ( t ) r_1(t-t_0)=e_1[(2t)-t_0] \neq r_2(t) r1​(t−t0​)=e1​[(2t)−t0​]​=r2​(t)
    故系统为时变的
  3. e 1 ( t ) * e 1 2 ( t ) = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow e_1^2(t)=r_1(t) e1​(t)*e12​(t)=r1​(t)
    e 2 ( t ) = e 1 ( t − t 0 ) * e 1 2 ( t − t 0 ) = r 2 ( t ) = r 1 ( t − t 0 ) e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow e_1^2(t-t_0)=r_2(t)=r_1(t-t_0) e2​(t)=e1​(t−t0​)*e12​(t−t0​)=r2​(t)=r1​(t−t0​)
    故系统为时不变的
  4. e 1 ( t ) * ∫ − ∞ t e 1 ( τ ) d τ = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{t} e_1(\tau )d\tau=r_1(t) e1​(t)*∫−∞t​e1​(τ)dτ=r1​(t)
    e 2 ( t ) = e 1 ( t − t 0 ) * ∫ − ∞ t − t 0 e 1 ( τ ) d τ = r 2 ( t ) = r 1 ( t − t 0 ) e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow \int_{-\infty }^{t-t_0} e_1(\tau )d\tau=r_2(t)=r_1(t-t_0) e2​(t)=e1​(t−t0​)*∫−∞t−t0​​e1​(τ)dτ=r2​(t)=r1​(t−t0​)
    故系统为时不变的
  5. e 1 ( t ) * ∫ − ∞ 5 t e 1 ( τ ) d τ = r 1 ( t ) e_1(t)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5t} e_1(\tau )d\tau=r_1(t) e1​(t)*∫−∞5t​e1​(τ)dτ=r1​(t)
    e 2 ( t ) = e 1 ( t − t 0 ) * ∫ − ∞ 5 ( t − t 0 ) e 1 ( τ ) d τ = r 2 ( t ) e_2(t)=e_1(t-t_0)\longrightarrow \int_{-\infty }^{5(t-t_0)} e_1(\tau )d\tau=r_2(t) e2​(t)=e1​(t−t0​)*∫−∞5(t−t0​)​e1​(τ)dτ=r2​(t)
    而 r 1 ( t − t 0 ) = ∫ − ∞ ( 5 t ) − t 0 e 1 ( τ ) d τ ≠ r 2 ( t ) r_1(t-t_0)=\int_{-\infty }^{(5t)-t_0} e_1(\tau )d\tau \neq r_2(t) r1​(t−t0​)=∫−∞(5t)−t0​​e1​(τ)dτ​=r2​(t)
    故系统为时变的

系统因果判断

  1. 计算响应时，为用到未来的信号，为因果的
  2. 计算响应时，为用到未来的信号，为因果的
  3. 当 t < 1 2 t<\frac{1}{2} t<21​时， t < 1 − t t<1-t t<1−t,用到未来信号，为非因果的
  4. 当 t > 0 t>0 t>0时， t < 2 t t<2t t<2t,用到未来信号，非因果的
  5. 计算响应时，为用到未来的信号，为因果的
  6. 计算响应时，为用到未来的信号，为因果的
  7. 当 t > 0 t>0 t>0时， t < 5 t t<5t t<5t，用到未来信号，为非因果的

总结

  1. 判断系统线性时，分别求出激励为 e 1 ( t ) e_1(t) e1​(t)和 e 2 ( t ) e_2(t) e2​(t)对应的响应 r 1 ( t ) r_1(t) r1​(t)和 r 2 ( t ) r_2(t) r2​(t)，将激励为 a e 1 ( t ) + b e 2 ( t ) ae_1(t)+be_2(t) ae1​(t)+be2​(t)时对应的响应与 a r 1 ( t ) + b r 2 ( t ) ar_1(t)+br_2(t) ar1​(t)+br2​(t)进行比较，两者相等时系统为线性的，否则为非线性的。
  2. 判断系统是否为时变的，分别求出激励为 e 1 ( t ) e_1(t) e1​(t)和 e 2 ( t ) = e 1 ( t − t 0 ) e_2(t)=e_1(t-t_0) e2​(t)=e1​(t−t0​)对应的响应 r 1 ( t ) r_1(t) r1​(t)和 r 2 ( t ) r_2(t) r2​(t)，将 r 2 ( t ) r_2(t) r2​(t)与 r 1 ( t − t 0 ) r_1(t-t_0) r1​(t−t0​)进行比较，当两者相等时系统为非时变的，否则为时变的。
    tip:在对激励进行延时计算 r 1 ( t − t 0 ) r_1(t-t_0) r1​(t−t0​)时，需要将里面的全部参数看作t，在此基础上进行位移变化。
  3. 判断系统是否为因果的，只需要看计算响应时是否由用到未来的激励信号，响应阶次大于激励阶次时为因果的，否则为非因果的。
原网站

版权声明
本文为[一念山河成706]所创，转载请带上原文链接，感谢
https://blog.csdn.net/qq_55600803/article/details/125113512

边栏推荐

猜你喜欢

随机推荐