码蹄集 - MT3111· 赋值

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赋值

• 赋值.

时间限制：1秒
空间限制：64M

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题目描述

冒险团正在一座奇妙秘境探险，眼前正是秘境的奖励关，关卡机制如下：随机给定M个金币，如果能找到三个不大于M的正整数（可以相同），求得它们的最小公倍数S，那么冒险团就可以获得S枚金币。为了得到最多的金币，大家一致决定将这项求解任务交给你这位团队智囊，求出S的最大值。

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输入描述

输入一个正整数n

• 1<=n<=1e6

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输出描述

输出题意中三个数的最小公倍数S的最大值

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样例一

输入

10

输出

630

题目分析

这道题题目可以概括为：求从$1\sim n$中任选出三个数的最小公倍数的最大值。

这道题其实就是数学问题。想要暴力地枚举三个数的复杂度是$O(n^3)$，肯定会超时。

所以我们就需要用到互质的数学性质。以下结论可能未证明，但是不影响通过本题。

很明显，当三个数互质的时候，三个数的最小公倍数最大。

方法一：数学公式

• $n$为奇数时，$n$、$n-1$、$n-2$互质
• $n$为偶数时

  • $n$能被$3$整除时，$n-1$、$n-2$、$n-3$互质
  • $n$不能被$3$整除时，$n$、$n-1$、$n-3$互质

有人可能不服气，为什么又上面这几条性质。这里感兴趣的同学可以去搜一搜，但是本文不在此做出证明，因为还有方法二。

方法二：局部暴力

真正遇到这样的题，不知道方法一的数学公式怎么办？

没关系，贪心也能过。

首先想要乘机尽可能大，我们就要把这三个数取得尽可能大。

所以我们可以在$n$的附近进行贪心。本题时间限制是$1s$，在这$1s$的时间里，进行$10^6$的计算量不过分吧！

我们只需要在$[\max (1,n-100),n]$的范围内枚举$i,j,k$，即可在$10^6$级别的运算量中得到最优答案。

方法三：公式+无脑

方法二是无脑计算法，之所以采用方法二是因为“不知道方法一的数学公式”。其实我们只需要在$[\max (1,n-3),n]$的范围内枚举三个数即可得到最优答案。（暂且记为方法三：公式+无脑）

AC代码

方法一：数学公式

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
int main() {
    
    ll n;
    cin >> n;
    if (n % 2) {
    
        cout << n * (n - 1) * (n - 2) << endl;
    }
    else {
    
        if (n % 3 == 0) {
    
            cout << (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) << endl;
        }
        else {
    
            cout << n * (n - 1) * (n - 3) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

方法二：局部暴力

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
int main() {
    
    ll n;
    cin >> n;
    ll ans = 0;
    for (ll i = max(1ll, n - 100); i <= n; i++)
        for (ll j = max(1ll, n - 100); j <= n; j++)
            for (ll k = max(1ll, n - 100); k <= n; k++) {
    
                /* // Error! 注释中是错误的求法 400 400 401的gcd为1，400*400*401/1/1 != 400 * 401 ll gcd = __gcd(__gcd(i, j), k); ans = max(ans, i * j * k / gcd / gcd); printf("i = %lld, j = %lld, k = %lld, __gcd(i, j, k) = %lld, GBS = %lld\n", i, j, k, gcd, i * j * k / gcd / gcd); */
                ll thisAns = i * j / __gcd(i, j);
                thisAns = thisAns * k / __gcd(thisAns, k);
                ans = max(ans, thisAns);
            }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

方法三：公式+无脑

运行时间大大缩短

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
int main() {
    
    ll n;
    cin >> n;
    ll ans = 0;
    for (ll i = max(1ll, n - 3); i <= n; i++)
        for (ll j = max(1ll, n - 3); j <= n; j++)
            for (ll k = max(1ll, n - 3); k <= n; k++) {
    
                ll thisAns = i * j / __gcd(i, j);
                thisAns = thisAns * k / __gcd(thisAns, k);
                ans = max(ans, thisAns);
            }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

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