统计字符串中不同回文子序列的个数

作者：Grey

原文地址: 统计字符串中不同回文子序列的个数

问题描述

给定一个字符串str，当然可以生成很多子序列，返回有多少个子序列是回文子序列，空序列不算回文，比如，str = “aba”回文子序列有

{a}：0位置上的a
{a}：2位置上的a
{a,a}
{b}
{a,b,a}

所以返回5。

暴力解法

枚举每个子序列，然后判断子序列是否是回文，代码如下

    public static int ways1(String str) {
    
        if (str == null || str.length() == 0) {
    
            return 0;
        }
        char[] s = str.toCharArray();
        char[] path = new char[s.length];
        return process(str.toCharArray(), 0, path, 0);
    }
    // 枚举每个位置要或者不要情况下，得到回文子序列的个数是多少
    public static int process(char[] s, int si, char[] path, int pi) {
    
        if (si == s.length) {
    
            return isP(path, pi) ? 1 : 0;
        }
        int ans = process(s, si + 1, path, pi);
        path[pi] = s[si];
        ans += process(s, si + 1, path, pi + 1);
        return ans;
    }
    // 判断path串中0...pi-1是不是回文
    public static boolean isP(char[] path, int pi) {
    
        if (pi == 0) {
    
            return false;
        }
        int L = 0;
        int R = pi - 1;
        while (L < R) {
    
            if (path[L++] != path[R--]) {
    
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

动态规划解

定义二维数组dp，数组长度假设为n

int[][] dp = new int[n][n]

dp[i][j]的含义是：字符串[i...j]区间内可以得到的最多回文子序列个数，所以，dp[0][n-1]的值就是我们需要求的最终答案。

根据dp数组的含义，我们可以得到，二维矩阵dp中的对角线上的值都是1, 对角线上面的位置也可以很容易得出，见如下注释

// 对角线上的值都是1
for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    dp[i][i] = 1;
}
// 对角线上面的位置，即dp[i][i+1]上的值
// 如果str[i] == str[i+1]，比如：aa，有三个回文子序列，分别是{a}，{a}，{aa}
// 如果str[i] != str[i+1]，比如：ab，有两个回文子序列，分别是 {a}，{b}
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    
    dp[i][i+1] = str[i] == str[i+1] ? 3 : 2;
}

接下来考虑普遍位置dp[i][j]，可以有如下几种情况：

情况一，i位置的字符弃而不用，那么dp[i][j] = dp[i+1][j]；

情况二，j位置的字符弃而不用，那么dp[i][j] = dp[i][j-1]；

基于情况一和情况二，

dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1]

这个时候，其实是算重了一部分，算重的部分是dp[i+1][j-1]，所以

dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]

如果str[i] == str[j]，则存在情况三，情况三中，str[i]和str[j]可都保留，与区间[i+1...j-1]形成回文串，str[i]也可以单独和str[j]形成一个回文串。所以，情况三

// dp[i][j]分成两部分
// 其中:
// 第一部分：dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1] 表示i位置和j位置弃而不用的情况下，得到的答案数
// 第二部分：dp[i + 1][j - 1] + 1 表示在情况三下，同时使用str[i]和str[j]位置得到的答案数
dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1] +  dp[i + 1][j - 1]  + 1

动态规划解法的完整代码

    public static int ways2(String s) {
    
        if (s == null || s.length() == 0) {
    
            return 0;
        }
        char[] str = s.toCharArray();
        int n = str.length;
        int[][] dp = new int[n][n];
        // 对角线都是1
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
            dp[i][i] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    
            dp[i][i + 1] = str[i] == str[i + 1] ? 3 : 2;
        }
        for (int i = n - 3; i >= 0; i--) {
    
            for (int j = i + 2; j < n; j++) {
    
                // 减去dp[i+1][j-1]是因为算重复了
                dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1];
                if (str[i] == str[j]) {
    
                    // dp[i][j]分成两部分
                    // 其中:
                    // 第一部分：dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1] 表示i位置和j位置弃而不用的情况下，得到的答案数
                    // 第二部分：dp[i + 1][j - 1] + 1 表示在情况三下，同时使用str[i]和str[j]位置得到的答案数
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1] +  dp[i + 1][j - 1]  + 1;
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }

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