2022年华数杯数学建模

B 题 水下机器人的组装计划

自来水管道清理机器人（Water pipe cleaning robot，简称WPCR）是一种可在水下移

动、具有视觉和感知系统、通过遥控或自主操作方式、使用机械臂代替或辅助人去完成

自来水管道垃圾清理任务的装置。运用这种装置能够及时清理管道，既可提高自来水的

品质，也能够保证水流畅通，因而越来越受到水务公司和家庭住户的青睐。

某工厂生产的WPCR装置需要用 3 个容器艇（用A表示）、4 个机器臂（用B表示）、

5 个动力系统（用C表示）组装而成。每个容器艇（A）由 6 个控制器（A1）、8 个划桨

（A2）和 2 个感知器（A3）组成。每个机器臂（B）组成比较复杂，简单可划分为 2 个

力臂组件（B1）和 4 个遥感器（B2）组成。每个动力系统（C）由 8 个蓄电池（C1）、

2 个微型发电机（C2）和 12 个发电螺旋（C3）组成。也就是说组装一个完整的WPCR

装置，需要 3 个容器艇（A），包括 18 个控制器（A1）、24 个划桨（A2）以及 6 个感

知器（A3）。组装一台WPCR需要的其他部件数以此类推。组装WPCR所需要的产品统

称为组件，包括A和A1、A2、A3，B和B1、B2，C和C1、C2、C3。

该工厂每次生产计划的计划期为一周（即每次按照每周 7 天的订购数量实行订单生

产），只有最终产品WPCR有外部需求，其他组件不对外销售。容器艇（A）、机器臂

（B）、动力系统（C）生产要占用该工厂最为关键的设备，因而严格控制总生产工时。

A、B、C的工时消耗分别为 3 时/件、5 时/件和 5 时/件，即生产 1 件A需要占用 3 个工

时，生产 1 件B需要占用 5 个个工时，生产 1 件C需要占用 5 个工时。每天的WPCR外部

需求数及关键设备总工时限制见表 5。

为了顺利生产WPCR，工厂在某一天生产组件产品时，需要付出一个与生产数量无

关的固定成本，称为生产准备费用。比如第一天生产了A，则要支付A的生产准备费用，

若第二天再生产A，则需要再支付A的生产准备费用。如果某一天结束时某组件有库存

存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比）。数据见表 6。另外，按

照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，轻易不能有缺货事件发生。

请回答下列问题。

1. 若该工厂第一天（周一）开始时没有任何组件

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