【TA-霜狼_may-《百人計劃》】1.2.1 向量基礎

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1.2.1.1 向量

向量的定義

• 向量是有大小和方向的有向線段
• 向量沒有比特置
• 向量的箭頭是向量的結束，向量的尾是向量的開始
• 向量描述的比特移可以被認為是與軸平行的比特移序列
• 向量的錶示：三維（ax，ay，az）例如（1，-5，7）

向量與標量

向量：有大小有方向
標量：只有大小沒有方向

向量與點

向量和點的數學形式相同，但幾何意義完全不同
點：只包含比特置信息
向量：沒有比特置信息，但是有實際的大小和方向信息

聯系：任何一個點都可以看做從原點出發的一個向量

零向量

• 零向量是唯一大小為零的向量
• 零向量是唯一一個沒有方向的量
• 零向量不是一個點，因為零向量沒有定義某個比特置
• 零向量錶示的是沒有唯一，就像零標量是錶示的沒有數量一樣

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1.2.1.2 計算

標量與向量的計算

• 沒有加法
• 沒有减法
• 乘法：將向量的每個分量都與標量相乘
• 除法：等同於乘以標量的倒數

向量的模長

• 計算公式：||v|| = √vx²+vy²
• 幾何解釋：以向量作為斜邊構建一個直角三角形，所示向量的大小（模長）可以由勾股定理求得

標准化向量

• 標准化向量（單比特向量）就是模長為1的向量。（僅需知道方向，應用：法線）
• 運算法則：將向量的各個分量除以模長

向量與向量的加减法

• 計算公式：（ax，ay）±（bx，by） = （ax+bx，ay+by）
• 對應比特置的加减法
• 幾何解釋：各個方向上比特移的疊加

計算兩點間距離

• 計算公式：（a,b）= ||b-a|| = √（bx-ax）²+（by-ay）²
• 更高空間依次類推
• 應用範圍：計算一個向量到另一個向量的距離（a到b的比特移向量為b-a）

向量的點積運算

• 計算公式：（ax,ay）·（bx，by）=（axbx+ayby）
• 向量點乘就是分量乘積的和，滿足交換律
• 幾何解釋：點乘結果描述了兩個向量的“相似”程度，點乘結果越大，夾角角度越小，兩個向量越接近。

投影

• 一個向量在另一個向量上的投影長度

蘭伯特光照模型

蘭伯特光照模型是目前最簡單應用的模擬漫反射的光照模型。
設：光照方向的反方向為L向量，發現方向為N向量，則有：

• L與N方向相同時：Nor·Light = 1（純亮）
• L與N方向相反時：Nor·Light = -1（純暗）
• L與N方向垂直時：Nor·Light = 0（純暗）

向量的叉積運算

僅運用於3D向量，計算公式如圖：

不滿足交換律，但是滿足逆交換律：
a X b ≠ b X a
a X b = - (b X a)

• 向量叉乘就是分量交叉相乘再相减，結果為一個向量。
• 幾何解釋：叉乘得到的向量垂直於原來的兩個向量。

叉積的大小和方向判定

計算公式如圖：

方向遵循左手坐標系，當起點重合時，由a向量轉向b向量，大拇指的方向即為結果的方向。