基于Matlab解决线性规划问题

目录

引入：怎样理解线性和非线性

1、线性规划

2、非线性规划

        1、有约束条件

        2、无约束条件

3、二次规划问题

4、笔者总结

---

引入：

线性与非线性，常用于区别函数y = f （x）对自变量x的依赖关系。线性函数即一次函数，其图像为一条直线。其它函数则为非线性函数，其图像不是直线

在数学上，线性关系是指自变量x与因变量yo之间可以表示成y=ax+b ，（a，b为常数），即说x与y之间成线性关系。

不能表示成y=ax+b ，（a，b为常数），即非线性关系，非线性关系可以是二次，三次等函数关系，也可能是没有关系

1、线性规划(linprog)

线性规划特征：成员变量都是一次项，并且有约束条件，求最大或者最小值

线性规划得标准形式要求目标函数最小化，约束条件取等式，变量非负，不符合条件得要转化为标准形式（最多情况是加负号），

f是x1,x2,x3求最大最小值成员变量前面的系数，如果要求最大值先要转化为标准形式，最后输出前加负号,以列向量呈现。

a是约束条件成员变量前面的系数，标准形式是小于等于，如果大于等于要转换加负号，同一个式子的系数以行向量呈现（，），不同式子是列向量（；）

b是约束条件的值，以列向量呈现

aeq,beq分别是相等情况的系数和值，如果约束条件没有用"[ ]"代替，不能省略

最后输出[x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,lb,ub)   lb，ub分别是上下限一般由zeros(i,j)指的是i(变量数)行j列的零矩阵代替若有具体条件具体分析

f=[2;3;-5];
a=[-2 5 -1;1 3 1];
b=[-10;12];
aeq=[1 1 1];
beq=7;
[x,y]=linprog(-f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1));
fprintf('x1=%.4f,x2=%.4f,x3=%.4f\nz:%.4f\n',x,-y);

---

---

---

2、非线性规划

        1、无约束条件 

 ①fminunc函数

 求无约束多变量函数的最小值

                     x = fminunc(fun,x0)

 x = fminunc(fun,x0)从x0点开始，尝试找到fun中描述的函数的一个局部最小x。点x0可以是标量、向量或矩阵。

fmincon函数是默认从你给定的x0为中心开始搜索，直至找到函数的最小值，并返回距离x0最近的函数最小值对应的x值

这样我们在计算的时候就必须预先判定函数最小值的对应的x值的大概范围
确保我们定的初值x0在所求的x附近，以减少计算量

MATLAB实现步骤

  1、定义函数，并且文件要与函数名一致

  2、定义脚本，先写x0[i,j]，然后再调用函数，最后看工作区的结果

---

对比:

    fminbnd单变量函数在范围内求极小值

 

 

---

2、有约束条件（前提是非线性）

     ①fmincon函数

基本语法：[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

 

  

---

---

3、二次规划问题 

特征：二次规划是非线性规划的一种，若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称之为二次规划

        标准形式——

 

 

 

首先，向量x是很容易写出的，因为f(x)包含两个变量x1和x2，因此

                                ​​​​​​​        ​​​​​​​        

 其次，向量f只与两个变量x1和x2的一次项有关，所以fTx=-2x1-6x2，因此

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

 本例中，，这是由于x1的平方项（即x1x1）系数为1/2，所以第1行第1列的元素为1=2*(1/2)，x2的平方项（即x2x2）系数为1，所以第2行第2列的元素为2=2*1，x1x2项（即x2x1）的系数为-1，所以第1行第2列和第2行第1列的元素均为-1。

总结：设矩阵H第i行第j列的元素大小为H(i,j)，二次项xixj的系数为a(i,j);

注意就是x1x1,x2x2系数要乘以2

笔者总结 ：

线性：

linprog  解决的是多元线性函数有约束条件下的的最大最小值问题

非线性：

除此之外共同点都是需要去定义目标函数且都是一次函数

fminunc 解决的是非线性多元无约束条件下的最大最小值问题

对比：fminbnd 解决得是非线性单元变量在给定得范围内得最大最小值

fmincon 解决的是非线性多元有约束条件下的最大最小值问题

二次规划：

quadprog 解决的是非线性且目标函数是二次，约束条件又是线性条件下的最大最小值问题