Matlab基础（5）——符号运算

符号运算是数值计算的扩展，在运算过程中以符号表达式或符号矩阵为运算对象，实现了符号计算和数值计算的相互结合，使应用更灵活。

创建符号表达式

创建符号表达式，需要先创建符号变量，再使用它们编写表达式。

使用关键字syms创建符号变量：

syms a b c  % 一次可以创建多个变量，变量之间只能用空格衔接
syms A [3 4]  % 创建符号矩阵
% A =
%  
% [ A1_1, A1_2, A1_3, A1_4]
% [ A2_1, A2_2, A2_3, A2_4]
% [ A3_1, A3_2, A3_3, A3_4]

syms 'A%d%d' [2 2]  % 可以通过占位符%d来改变默认格式
% A =
%  
% [ A11, A12]
% [ A21, A22]

syms M 3  % 3阶方阵
% M =
%  
% [ M1_1, M1_2, M1_3]
% [ M2_1, M2_2, M2_3]
% [ M3_1, M3_2, M3_3]

先将变量创建好，才能将含有该变量字符串转化为符号表达式

syms x
str = 'x^3+2*x+1';  % 不识别2x，即*不可省略
S = eval(str);  % 将字符串转化为符号表达式
% S =
%  
% x^3 + 2*x + 1

也可以通过多项式部分提到的函数ploy2sym(p)，将系数向量转化为符号表达式

P = [1 2 2 1];
S = poly2sym(P);
% S =
%  
% x^3 + 2*x^2 + 2*x + 1

可以通过函数sym(A)将矩阵$A$转化为符号表达式sym格式。只有符号表达式可以与符号表达式计算，数值表达式无法直接与符号表达式进行计算。

A = ones(2,3);
S = sym(A)  % 2*3 sym
% S =
%  
% [ 1, 1, 1]
% [ 1, 1, 1]

使用sym()函数处理数值表达式时，应从尽量小的单位入手，以免产生精度上的误差，如

>> sym(1/1234567)  % 错误
 
ans =
 
7650239286923505/9444732965739290427392
 
>> 1/sym(1234567)  % 正确
 
ans =
 
1/1234567

% ------------------------------------------------

>> sym(exp(pi))  % 错误
 
ans =
 
6513525919879993/281474976710656
 
>> exp(sym(pi))  % 正确
 
ans =
 
exp(pi)

---

符号矩阵运算

转置

Matlab默认符号属于复数，在使用'求转置时，会自动求出共轭转置。因此若只想求转置，应该使用.'

syms 'A%d%d' [2 3]
% A =
%  
% [ A11, A12, A13]
% [ A21, A22, A23]

B = A.'
% B =
%  
% [ A11, A21]
% [ A12, A22]
% [ A13, A23]

行列式

syms 'A%d%d' 2
% A =
%  
% [ A11, A12]
% [ A21, A22]

d = det(A)
% d =
%  
% A11*A22 - A12*A21

求逆

inv(A);  % A必须是方阵，结果用A中元素表示

求秩

rank(A);  % 返回一个整数

其他

函数	说明
inv(A)	求矩阵的逆，结果用$A$中的元素表示
rank(A)	求矩阵的秩，返回一个整数
eig(A)	求特征值、特征向量
svd(A)	奇异值分解
jordan(A)	Jordan标准形运算

---

符号运算

因式分解

使用函数factor(S)实现

S = poly2sym([1 3 2]);  % S = X^2+3*x+2
factor(S)
% ans =
%  
% [ x + 2, x + 1]

也可用于质因数分解

S = sym(276);
factor(S)  % [2 2 3 23]

表达式展开

syms x
S = eval('(x+1)*(x+2)');
expand(S)  % x^2 + 3*x + 2

也可以用于三角函数、指数函数、对数函数的展开

syms x y
S = eval('sin(x+y)');
expand(S)  % cos(x)*sin(y) + cos(y)*sin(x)

表达式化简

syms x
S = eval('sin(x)^2+cos(x)^2');
simplify(S)  % x+1

分式通分

syms x y
S = eval('1/x+1/y');
[n, d] = numden(S)
% n - 分子 n=x+y
% d - 分母 d=x*y

代入/计算结果

通过函数subs(S,old,new)实现，返回值仍是sym类型。

syms F m a Ff
str = 'Ff+F';
S = eval(str);
S = subs(S,F,a*m)  % 用a*m代换F
% S =
%  
% Ff + a*m

res = subs(S,[a m Ff],[2 10 15])  % 分别给[a m Ff]赋值为[2 10 15]
% res =
%  
% 35