01背包问题（动态规划）

1. 问题

  有 n 个物品，它们有各自的重量 weight 和价值 value，现有给定容量 C 的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值？每个物品只能使用一次。

2. 分析

需要求解的是：最大价值 MaxValue
约束条件：选择的物品总重量 < C
递推公式（面对当前物品可能有两种情况）：
  （1）包的容量比该物品体积小，装不下，此时的价值与前 i-1 个的价值是一样的，因此 $$dp[i][j]=dp[i-1][j]$$
  （2）可以装该物品，但装进去不一定是当前最大价值，比较装进去后和不装的价值大小，取较大的那一个，因此 $$dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])$$

3. 代码

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

int C;  //背包容量 
int number;  //物品数量
int w[10], v[10];  //物品的重量和价值 
int dp[10][10] = {
    {
    0}};  //保存价值的二维数组--动态规划 

//找到最大价值 
void MaxValue()
{
    
	for(int i = 1;i <= number;i++){
      //注意：i,j从1开始 
		for(int j = 1;j <= C;j++){
    
			if(j < w[i]) //不能装 
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
			else //装 
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
		}
	}
}

int main()
{
    
	cout<<"01背包问题"<<endl;
	cout<<"Please input the bag's capacity:";
	cin>>C;
	cout<<"Please input goods' number:";
	cin>>number;
	cout<<"Please input goods' weight:";
	for(int i = 1;i <= number;i++){
      //注意：i从1开始 
		cin>>w[i];
	}
	cout<<"Please input goods' value:";
	for(int i = 1;i <= number;i++){
    
		cin>>v[i];
	}
	
	MaxValue();  //找到最大价值 -- 动态规划 
	cout<<"\n(1)动态规划\nThe bag's max vlaue is :"<<dp[number][C]<<endl;
	cout<<"The values of dp[][] are as follows:\n";
	for(int i = 0;i <= number;i++){
     //输出dp数组 
		for(int j = 0;j <= C;j++){
    
			cout<<dp[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	
	return 0; 
}

4. 效果