【[SCOI2005] 互不侵犯】【状压DP（含概念讲解）】

什么是状压DP

状压 DP 是动态规划的一种，通过将状态压缩为整数来达到优化转移的目的。

如下图所示，可以用0/1表示状态，然后转换为十进制数进行存储，大大减少存储空间。

[SCOI2005] 互不侵犯

题目连接

题目描述

在N×N的棋盘里面放K个国王，使他们互不攻击，共有多少种摆放方案。国王能攻击到它上下左右，以及左上左下右上右下八个方向上附近的各一个格子，共8个格子。

输入格式

只有一行，包含两个数N，K （ 1 <=N <=9, 0 <= K <= N * N）

输出格式

所得的方案数

样例 #1

样例输入 #1

3 2

样例输出 #1

16

思路分析

数组f[i][st][j]的定义，以及状态转移方程：

不合法检验：

行内不能相邻，行间要检验三位。

st 的范围（状态数组的大小）：

代码

int n, k;
ll f[9][1 << 9][82], ans;
int c(int st){
    
    //返回st的二进制中1的个数
    int cnt = 0;
    while(st){
    
        if(st%2)
            cnt++;
        st /= 2;
    }
    return cnt;
}
bool check1(int st){
    
	//同行检验
    for (int i = 0; i < n - 1;i++)
        if ((st & (1 << i)) && (st & (1 << (i + 1))))
            return false;
    return true;
}
bool check2(int st,int st2){
    
    //与上一行的检验
    for (int i = 0; i < n;i++){
    
        if (st & (1 << i)){
    
            if (st2 & (1 << i))
                return false;
            else if (i + 1 < n && (st2 & (1 << (i + 1))))
                return false;
            else if (i - 1 < n && (st2 & (1 << (i - 1))))
                return false;
        }
    }
    return true;
}
void solve(){
    
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n;i++){
    
        for (int st = 0; st < (1 << n);st++){
    
            if(!check1(st))
                continue;
            if (i == 0)
                f[i][st][c(st)] = 1;
            else{
    
                for (int j = c(st); j <= k;j++){
    
                    for (int st2 = 0; st2 < (1 << n);st2++){
    
                        if(!check1(st2)||!check2(st,st2))
                            continue;
                        f[i][st][j] += f[i - 1][st2][j - c(st)];
                    }
                }
            }
        }
    }
    for (int st = 0; st < (1 << n);st++)
        ans += f[n - 1][st][k];
    cout << ans << nl;
}