概率论的学习整理2：如何对随机实验的对象：“事件” 进行计数呢？ 四种计数方法，不只是排列组合

1 给事件计数的思维导图展开： 给谁计数，怎么计数？

上一篇，明确了，实验，集合，事件集，事件，这些概念了，下面就要开始进行计数。

这一篇，理清楚思路，既然明白了实验和事件，接下来就是要数字化了，也就是要问这几个问题：

1. Counting for Who ?  给谁计数？给谁计数？计数的对象是？
2. How to count？ 如何计数？怎么计数？

1.1 本篇的思维导图

 1.2 初始的本地学习笔记

 

2 给谁计数 和 怎么计数的问题？  

Counting for Who  &  How to count？

2.1 Counting for Who ?  给谁计数？给谁计数？计数的对象是？

核心问题： 明确你的问题，你要做什么？对谁做什么？

•  给谁计数？    
• 计数的对象是： 事件=  随机变量（数字化的事件）
• 随机变量，我理解就是把 事件 进行量化，数字化

• 具体到事件和随机变量，事件可以定义为不同的事件，随机变量也随之不同

1. 比如丢硬币的正面发生次数，不发生次数
2. 比如第N次出现反面的概率
3. 比如是XX，不是XX

2.2 How to count？ 如何计数？怎么计数？--事件的4种计数方式

• 关键点1    counting 是否重复(即，是否放回！)    
• 关键点2    counting 是否排序    
   

	不放回	放回
	事件不重复	事件重复
事件排序	P(n,k)	n^k
事件不排序	C(n,k)	C(n+k-1,k)

如何理解不放回？

• 不放回，即不重复，每次抽样后，总样本都发生了变化，比如抽样调查一般都不放回！
• 放回，即每次都是重新随机，比如丢骰子一般是
• 排列组合默认是不放回的！

2.4 这4个公式是利器！

	不放回	放回
	事件不重复	事件重复
事件排序	P(n,k)	n^k
事件不排序	C(n,k)	C(n+k-1,k)

3 排列与组合（不放回！）

• 排列    permutation  ：不放回，有序
• 组合    combination  ：不放回，无序
   

3.1 排列    permutation

• 排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；
• 排列数： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，
• 用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1)。

        
        
3.2 组合    combination    

• 组合：从m个不同的元素里，每次取出n个元素，不管以怎样的顺序并成一组，均称为组合。
• 组合数（组合的个数）：其所有不同组合的种数=m(m-1)…(m-n+1)/n!=m!/(n!(m-n)!)。

3.3 排列组合的公式和关系

特殊	0！	=	1
排列	p(n,m)	=	n!/(n-m)!
		=	n*(n-1)*…*(n-m+1)
全排列	p(n,n)
	p(3,3)	=	3!/0!
组合	c(n,m)	=	n!/((n-m)!*m!)
		=	n*(n-1)*…*(n-m+1)/m!
全组合	C(n,n)	=	1
排列组合关系1	p(n,m)	=	c(n,m)*p(m,m)
		=	c(n,m)*m!
组合的关系2	c(n,m)	=	c(n,n-m)

• 排列组合，都是不放回的前提！！
• 排列 P(n,m)= n!/(n-m)! =n*(n-1)*…*(n-m+1)
• 组合 C(n,m) = n!/((n-m)!*m!) = n*(n-1)*…*(n-m+1)/m!
• 排列组合是有换算关系的
• P(n,m)=C(n,m) *  P(m,m)

• 特殊
• 0！=1

• 全概率=阶乘, 表示把这些所有元素排列的全部方法！！
• 全排列  p(n,n)=n!
• 全排列p(3,3)=3!/0!=3*2*1

• 全组合=1，表示全组合的方法就这1种！
• 全组合 C(n,n)=1

4 做个例题，总结理解一下

 理解下面的表，就明白了计数这一篇

3张牌A,B,C

实验1

任取2张，先后有序

P(3,2)

情况全展开

AB

AC

BA

BC

CA

CB

实验2

任取2张，无序，只看有哪几种组合？

C(3,3)

情况全展开

AB

AC

BC

实验3

任取2张，可重复，先后有序

3*3

情况全展开

AA

AB

AC

BA

BB

BC

CA

CB

CC

实验4

任取2张，可重复，只看有哪几种组合

C(3+2-1,2)=C(4,2)

情况全展开

AA

AB

AC

BA

BB

BC

CA

CB

CC