math_泰勒公式

微分泰勒公式

• 用一个容易计算/结构简单的函数来来近似的表达一个复杂的函数,这中近似表达在数学上称为逼近

• 泰勒公式使用使用多项式$P$(polynominal)来逼近一个给定函数$f(x)$;

• 我们用$P_i$来描述逼近$f(x)$的过程:

  • 一阶近似:

    • $$P_1=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)=a_0+a_1(x-x_0)$$

  • 二阶近似:

    • $$P_2=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2$$

  • …(更高精度的逼近函数)

• 问题是,如何确定系数$a_i$

$i阶逼近函数P_i$

• $$\begin{gathered} i阶逼近函数P_i表示为多项式: \\ {P}_i=a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k(x-x_0{)}^k; \\ =f(x_0)+\sum _{k=1}^n{a}_k(x-x_0{)}^k; \end{gathered}$$

  $$\begin{gathered} 而公式\bcancel{\sum _{k=0}^n{a}_k(x-x_0{)}^k} \\ 会在x=x_0出发生异常,出现0^0的项,因此独立拆分出来a_1,使得各项的指数至少为1 \\ 但是,可以写作:(注意累加下界k=0)\{\begin{array}{l}\sum _{k=0}^n{a}_k(x-x_0{)}^k;x\ne x_0\\ f(x_0);x=x_0\end{array} \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} 函数P_i和f(x)的导数之间有如下约束: \\ n阶的逼近函数P_n和被逼近函数f(x)在点x_0的(i阶)导数值相同(i\in [0,N];i\in N^{\ast })) \end{gathered}$$

  $${P}_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0)\text{\hspace{1em}(cf (constraint family(i))}$$

  $$\begin{gathered} 这里将i\in N^{\ast }的各个i值带入上式(cf),可以得到一系列的约束等式, \\ 每个等式可以求解出一个项a_i,a_i是关于f^{(i)}的表达式 \end{gathered}$$

对于$(x+a{)}^n$形式的高阶导数

$$\begin{gathered} (x^n{)}^{(n)}=n!; \\ (x^n{)}^{(n+1)}=0 \\ 可以得到 \\ ((x+a{)}^n{)}^{(n)}=(\sum _{i=0}^n{x}^i{a}^{n-i}){)}^{(n)}=1\cdot (x^n{)}^{(n)}=n! \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 更一般的,我们可以推导: \\ 记y=(x+a{)}^n \\ ((x+a{)}^n{)}^{(k)}=y^{(k)} \\ 1⩽k⩽n;k,n\in N^{+}时, \\ ((x+a{)}^n{)}^{(k)}=\frac{n!}{(n-k)!}(x+a{)}^{n-k}=P_n^k{(x+a)}^{n-k} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 特别的,当k=n时,(常数a的值在此时无关紧要)便得: \\ ((x+a{)}^n{)}^{(n)}=n! \end{gathered}$$

$P_i的k阶导数$

$$P_i(x)=a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k(x-x_0{)}^k;$$

$$\begin{gathered} 对于i阶逼近函数P_i,对其求k阶导数; \\ {P}_i^{(k)}(x_0)=0+\sum 0+a_{k}k!+\sum 0=a_{k}k! \\ 根据约束条件 \\ =f^{(k)}(x_0) \\ 从而得到a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \end{gathered}$$

泰勒多项式$P_n$$函数f(x)在点x=x_0处的n次\mathbb{T}aylor多项式$

$a_k:逼近函数P_i各项系数a_k的值$

$$\begin{gathered} f(x)的在x=x_0处(即f(x_0))的i阶逼近函数P_i表示为多项式: \\ f(x)\approx P_n(x) \\ {P}_n(x,x_0)=a_0+\sum _{k=1}^n{a}_k(x-x_0{)}^k; \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 该式子称为:函数f(x)在点x=x_0处的n次\mathbb{T}aylor多项式, \\ 或者称为f(x)按(x-x_0)的幂展开的n次泰勒多项式 \end{gathered}$$

$$a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$$

系数特点

• 可见,$a_k$$是关于f(x)在x_0处的k阶导数f^{(k)}(x_0)z以及k!的表达式$

• 多项式中的各项系数有相同的特点:包含两个部分

  • k阶导
  • k阶乘

通项

• $最后,系数再乘以核心式(x-x_0)的k次幂(x-x_0{)}^k$,得到一个完整的泰勒多项式通项:

  • $$a_k(x-x_0{)}^{(k)}=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\times (x-x_0{)}^k$$

  • general term formula
    $$\begin{gathered} T(x_0,k,\xi )=a_k(x-x_0{)}^{(k)}=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\times (x-x_0{)}^k \\ {R}_n(x)=T(x_0,n+1,\xi )=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1} \end{gathered}$$

$R_n(x)$:余项(误差描述函数)

• 注意到,$余项R_n(x)也是函数,所以可以想象,逼近函数P_n(x)在估算f(x)的不同点函数值,可有不同的精确程度$

余项的类型

余项有两种:

• 拉格朗日(Lagrange)型余项

• 余项和taylor多项式中的各项系数有相同的特点:包含三个部分

  • k阶导,

  • k次幂,

  • k阶乘

  • $$\begin{gathered} R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1} \\ 余项的系数部分\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!} \\ 与普通系数相比: \\ \{\begin{array}{l}{x}_0\to \xi \\ n\to (n+1)\end{array} \end{gathered}$$

• 佩亚诺(Peano)型余项

  • Largrange型的简化描述(高阶无穷小)

  • $${R}_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$$

公式宏定义(部分编辑器不支持,则导致公式无法渲染,typora 支持)
\def\ltzero{\lim_{x\rightarrow 0}} \def\ltxzero#1{\lim_{x\rightarrow x_0}} \def\ltx#1{\lim_{x\rightarrow #1}} \def\ltxi#1{\lim_{x\rightarrow x_{#1}}} \def\limtoxi#1{\lim_{x\rightarrow x_{#1}}} \def\Rn#1{R_n^{(#1)}(x)}

记:
$$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$$

$$\begin{gathered} {P}_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0) \\ 即: \\ {f}^{(i)}(x_0)-p_n^{(i)}(x_0)=0\text{\hspace{1em}(cf (constraint family))} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} R_n^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x)-P_n^{(i)}(x)=0 \\ 即,R_n(x_0)=R_n^{{}^{\prime }}(x_0)=R_n^{{}^{\prime \prime }}(x_0)=\cdots =R_n^{(n)}(x_0) \end{gathered}$$

余项和无穷小的关系

$${R}_n^{(n)}(x_0)=o((x-x_0{)}^n)$$

$$\begin{gathered} \because (反复使用洛必达法则)\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n(x)}{(x-x_0{)}^n}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n^{{}^{\prime }}(x)}{n(x-x_0{)}^{n-1}} \\ =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R^{{}^{\prime \prime }}(x)}{n(n-1)(x-x_0{)}^{n-2}}=\cdots \\ =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)}=\frac{1}{n!}\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{R_n^{(n-1)}(x)-R_n^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}=\frac{1}{n!}{R}_n^{(n)}(x_0)=0 \end{gathered}$$

• 其中,极限转换为导数的过程:

$$\begin{gathered} 记g(x)=R_n^{(n-1)}(x);由于前面的论述可知R_n^{(i)}(x_0)=0,则,g(x_0)=0 \\ 由导数的定义g^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0} \\ 则R_n^{(n)}(x_0)=g^{\prime }(x_0) \end{gathered}$$

$R_n^{(i)}(x)$导数阶数i	1	2	3	…	n	(n+1)
对应i阶导数的($(x-x_0{)}^n{)}^{(i)}$累乘系数因子	n	n-(1)	n-(2)	…	n-(n-1)=1	n-n

泰勒公式

$$\begin{gathered} f(x)=P_n(x)+R_n(x) \\ 从程序设计的角度,为了强调x_0对公式的影响,可以写作 \\ *f(x)=g(x,x_0,\xi )=P_n(x,x_0)+R_n(x,x_0,\xi );(constant\xi \in (x_0,x)) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f(x)=g(x,x_0,\xi )=f(x_0)+\sum _{k=1}^n{a}_k(x-x_0{)}^k \\ +\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n!}(x-x_0{)}^{n+1} \\ =f(x_0)+\sum _{k=1}^{k=n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}{(x-x_0)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 被逼近函数=逼近函数+误差 \\ 被逼近函数可以用逼近函数P_n(x,x_0)来估计 \\ 误差可以用R_n(x,x_0)来估计 \end{gathered}$$

麦克劳林(Maclaurin)公式

当泰勒公式
$$\begin{gathered} 令x_0=0; \\ f(x)=g(x,0,\xi )=f(x_0)+\sum _{k=1}^n{a}_k(x-0{)}^k \\ +\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{n!}(x-0{)}^{n+1} \\ {x}_0\to \xi \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 其中:a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!},x_0=0; \\ {a}_{k_{x_0=0}}=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} \end{gathered}$$

即:
$$\begin{gathered} \underset{maclaurin}{f(x)}=g(x,0,\xi ) \\ =f(x_0)+\sum _{k=1}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+R_n(x) \\ 其中,R_n(x)可以是lagrange型的余项,也可以是peano型余项 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 在maclaurin公式下,取R_n(x)为lagrange型余项时, \\ 由于\xi \in (x_0,x),可以令\xi =\theta x;(\theta \in (0,1)) \\ 则,R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)x^{n+1}}{(n+1)!} \end{gathered}$$

泰勒公式(麦克劳林公式)的应用

$sin(x)带有largrange型余项的n阶maclaurin公式(展开)$

• 根据一般性的maclaurin公式:

• $$\begin{gathered} \underset{maclaurin}{f(x)}=f(0)+\sum _{k=1}^{k=n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k+R_n(x) \\ {R}_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\cdot x^{(n+1)}=\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}\cdot x^{(n+1)} \end{gathered}$$

• $$\begin{gathered} f^{(k)}(x)=sin(x+k\cdot \frac{\pi }{2}) \\ {f}^{(k)}(0)=sin(k\frac{\pi }{2});(k=1,2,3,\cdots ) \\ =1,0,-1,0,1,0,\cdots (根据单位圆,不难发现其周期规律) \\ f(0)=sin(0)=0 \\ f(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \end{gathered}$$

  k	1	2	3	4	5	6	…	n=2m
  $f^{(k)}(0)$	1	0	-1	0	1	0
  $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$	$\frac{1}{1!}$	$\frac{0}{2!}=0$	$\frac{-1}{3!}$	$\frac{0}{4!}=0$	$\frac{1}{5!}$	$\frac{0}{6!}$
  $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k$	$x^1$	0	$-\frac{1}{3!}{x}^3$	0	$+\frac{1}{5!}{x}^5$	0

  第m项	1	2	3	4	5	6	…	m	(m+1)余项
  2m	2	4	6	8	10	12
  m-1	0	1	2	3	4	5
  2m-1	1	3	5	7	9	11
  2m+1	3	5	7	9	11	13
  $(-1{)}^{m-1}$(作为项的符号)	1	-1	1	-1	1	-1		$(-1{)}^{m-1}$	$(-1{)}^m$
  $(-1{)}^m$	-1	1	-1	1	-1	1
  $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k$	$x^1$	0	$-\frac{1}{3!}{x}^3$	0	$+\frac{1}{5!}{x}^5$	0		$(-1{)}^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}$	$(-1{)}^m\frac{cos(\theta x)}{(2m+1)!}{x}^{2m+1}$

  $$\begin{gathered} f(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^{(m-1)}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m} \\ f(x)=\sum _{k=1}^{k=m}(-1{)}^{(m-1)}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m} \\ {R}_{2m}(x)=\frac{sin(\theta x+(2m+1)\frac{\pi }{2})}{(2m+1)!}{x}^{(2m+1)}=(-1{)}^m\frac{cos(\theta x)}{(2m+1)!}{x}^{2m+1} \end{gathered}$$

  如果取m=1;得到
  $$sinx\approx x$$

  $此时用P(x)=x估算f(x)=sin(x)产生的误差为$:
  $$|R_2|=|-\frac{cos(\theta x)}{3!}{x}^3|⩽\frac{|x^3|}{6}$$

  可见,当要估算的f(x),x取值较小的时候,使用P(x)=x估算f(x)=sin(x)差生的误差很有限

  当x取值较大时,误差上限会变大,估算效果可能很不靠谱,这时,可以考虑使用高阶的逼近函数

  m=2;得到
  $$sinx\approx x-\frac{1}{3!}{x}^3$$

  m=3;得到
  $$sinx\approx x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5$$
  他们产生的误差不会分别不会超过$\frac{1}{5!}|x^5|,\frac{1}{7!}{x}^7$;而阶乘增长的比指数要快,因此可以相信高阶逼近可以更好的控制误差在足够小的范围内

泰勒展开的应用$(x_0\ne 0)$

$$f(x)=f(x_0)+\sum _{k=1}^{k=n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}{(x-x_0)}^k+R_n(x)$$

$$f(x)=x^3+3x^2-2x+4的按(x+1)的升幂展开$$

• $确定x_0=-1$
• 计算f(x)在各阶导数,并带入$x=x_0,得到f^{(k)}(x_0)$
• 计算$R_n(x)$
• 带入公式

$$\begin{gathered} x_0=-1; \\ f(-1)=8; \\ f(x)在x=x_0=-1处的各阶导数值:f^{\prime }(x)=3x^2+6x-2;f^{\prime }(-1)=-5 \\ {f}^{\prime \prime }(x)=6x+6;f^{\prime \prime }(-1)=0 \\ {f}^{\prime \prime \prime }(x)=6;f^{\prime \prime \prime }(-1)=6 \\ {f}^{(k)}(x)=0;(k⩾4)所以R=R_4(x)=0 \\ \therefore f(x)=f(-1)+\frac{f^{\prime }(-1)}{1!}(x+1)+\frac{f^{\prime \prime }(-1)}{2!}(x+1)+\frac{f^{\prime \prime \prime }(-1)}{3!}x+1+R_4(x) \\ =8-5(x+1)+(x+1{)}^3 \end{gathered}$$