笔试面试题目：求缺失的最小正整数

想让APP和微信一样，可以流畅运行小程序？ | 体验即送大疆、华为、樱桃键盘！>>>

     原文发表于：

 

     国庆假期已过半。今天，我们来看一个leetcode问题，也是当年B公司的面试题，有难度。问题如下：

 

     给定一个整数数组，找出其中缺失的最小的正整数，要求时间复杂度为O(n), 空间复杂度为O(1). 输入输出示例如下：

输入数组a	输出
[1, 2, 0]	3
[3, 4, 1, -1]	2
[6, 7, 8, 12]	1

 

      我们先来分析一下:

      A. 假设a中的n个元素占满了1~n, 那么缺失的最小正整数就是n+1.

      B. 假设a中的n个元素没有完全占满1~n, 那么缺失的最小正整数必然是1~n之间的某个数。

      综合A和B可知：缺失的最小正整数必然在区间[1, n+1]中。这是一个非常重要的结论。

 

算法1：暴力算法

      暴力算法很简单，直接遍历区间[1, n+1], 然后判断元素是否在a中。此时，时间复杂度是O(n*n), 空间复杂度为O(1).  

       显然，无法通过面试。        

 

算法2：哈希算法

      从暴力算法可知，这无非就是一个查找的问题，那么可以考虑用哈希表。也就是把a数组用哈希表来记录，然后直接遍历区间[1, n+1], 就可以判断元素是否在哈希表中。此时，时间复杂度和空间复杂度都是O(n).

       显然，无法通过面试。

 

算法3：巧妙标记法

      我们参考算法2，并在标记元素是否存在时做巧妙优化。

      以a = [3, 4, 1, -1]为例，n = 4，过程如下：

原始数组	[3, 4, 1, -1]
非正数改为n+1	[3, 4, 1, 5]
3存在，用a[3-1]的负号来标识	[3, 4, -1, 5]
4存在，用a[4-1]的负号来标识	[3, 4, -1, -5]
1存在，用a[1-1]的负号来标识	[-3, 4, -1, -5]
a[x-1]=4，是正数，故x必然不存在	x=2便是缺失的最小正整数

      可以看到，在记录元素x是否存在时，使用的是a[x - 1]的符号，其中，x的区间是[1, n].  该算法的时间复杂度是O(n), 空间复杂度是O(1), 完全符合题目要求。 这种标记方式是非常巧妙的，而且确实不太容易想到。

      既然算法的步骤确定了，那么对应的程序就相对简单了，来看一下：

package main
import "fmt"

func abs(x int) int {
    if x < 0 {
        return -x
    }
  
    return x
}

func solution(a []int) int {
    n := len(a)
    for i := 0; i < n; i++ {
        if a[i] <= 0 {
            a[i] = n + 1
        }
    }
  
    for i := 0; i < n; i++ {
        num := abs(a[i])
        if num <= n {
            a[num - 1] = -abs(a[num - 1])
        }
    }
  
    for i := 0; i < n; i++ {
        if a[i] > 0 {
            return i + 1
        }
    }
  
    return n + 1
}

func main() {
  a := []int{3, 4, 1, -1}
  fmt.Println(solution(a))
}

      结果：2

 

算法4：置换归位法

      算法3是比较难想到的，那么我们再看看更加直观的想法。对于数组a的元素i, 如果i在区间[1, n]中，可通过置换归位，把i放到a[i-1]处，如下：

 

输入数组a	置换目标
[1, 2, 0]	[1, 2, 0]
[3, 4, 1, -1]	[1, -1, 3, 4]
[6, 7, 8, 12]	[6, 7, 8, 12]

 

     置换后，再次遍历a, 如果a[x-1]和x不相等，那么，x肯定就是缺失的最小正整数，如下：

置换目标	x(缺失的最小正整数)
[1, 2, 0]	3
[1, -1, 3, 4]	2
[6, 7, 8, 12]	1

 

     该算法的时间复杂度是O(n), 空间复杂度是O(1), 完全符合题目要求。既然算法确定了，那么对应的程序就相对简单了，如下：

package main
import "fmt"

func solution(a []int) int {
    n := len(a)
    for i := 0; i < n; i++ {
        // 注意：下面这里要用for, 而不是if.
        for a[i] > 0 && a[i] <= n && a[a[i]-1] != a[i] {
            a[a[i]-1], a[i] = a[i], a[a[i]-1]
        }
    }
  
    for i := 0; i < n; i++ {
        if a[i] != i + 1 {
            return i + 1
        }
    }
  
    return n + 1
}

func main() {
  a := []int{3, 4, 1, -1}
  fmt.Println(solution(a))
}

      结果：2

 

 

      综上所述：算法1和算法2无法通过面试，算法3和算法4可以通过面试。其中，算法3是比较绕的，在面试现场不太容易想到。相比较而言，算法4直观易懂，在程序实现时要注意内层要用for, 而不是if.

 

      总体来看，B公司的面试要求还是很高的，祝大家拿到心仪的offer.