线性代数学习笔记2-2：向量空间、子空间、最大无关组、基、秩与空间维数

向量空间

向量空间就是一些向量的集合，并且满足：向量空间对于这些向量的线性组合封闭（任意向量间的加法、数乘，得到的向量仍属于这个向量空间）

• 具体来说，向量空间中的元素（向量）的加法和数乘满足8条公理

具体的8条公理详见：线性代数学习笔记：抽象向量空间

• 所有向量空间一定包含$0$向量，或者说向量空间一定经过原点，因为任意向量数乘0后都得到$0$向量
  这也是为什么说“列空间这个向量空间必须包含零向量”和“线性变换必须保证原点位置不变”

具体的，${\mathbf{R}}^2$是所有二维实向量构成的空间，这就是一个向量空间，因为其中的向量的线性组合（加法与数乘），仍处于该空间
同样的${\mathbf{R}}^3$、${\mathbf{R}}^4$…也是向量空间

• 两个空间的交集，仍然是一个向量空间（它们的加法和数乘对空间一定封闭）
  证明：交集中的向量一定分别属于两个原空间，这些向量的线性组合对原空间A封闭，也对原空间B封闭，故对A和B的交集封闭，即两个空间的交集仍为向量空间
• 要掌握一个向量空间的所有信息，只需要两点：一组基+空间维度$dim$

向量空间的子空间

子空间是向量空间的子集，并且子空间本身也是一个向量空间

• 例如，对于${\mathbf{R}}^2$，其子空间有三类：其本身、任意过原点的直线、一个点0；
  而不过原点的直线不是子空间（没有封闭性）
• 对于${\mathbf{R}}^3$，其子空间有四类：其本身、任意过原点的平面、任意过原点的直线、一个点0；
• 可以看出，任意向量空间，都必须包含0向量

向量组的最大无关组

向量组一般是线性相关的，我们希望只留下“最本质”的内容，即从向量组中挑选最多的向量，并保持它们线性无关。最终，由 [最多个 线性无关的向量]组成的向量组，称为最大无关组

理解：

• 向量组的最大无关组中，每个向量都“有贡献”，都能扩大向量组的张成空间、都提供了新的维度；
  并且再加入任何向量，也不会得到更大的张成空间了
• 也就是说，最大无关组能“最精简地“保留原向量组的秩，也即张成空间的维数

从矩阵对应线性变换的角度，矩阵的列向量组就是变换后的基向量坐标，那么列向量线性相关会导致变换后的基向量张成的空间维度被压缩（张成空间变小）

给出向量组，如何求最大无关组？

• 向量组满秩时，最大无关组就是它本身
• 否则，我们用初等行变换来获得最大无关组（因为初等行变换不改变行向量的关系，故能够在保持向量组的张成空间的情况下，逐步化简，最终看出那些“多余”的向量，而留下最大无关组）

向量空间的基：向量空间的一个最大无关组

从上面可以看出，两向量无关就提供了空间中的新维度，因此，向量的线性无关 与 空间中的维度有密切关系，由此我们研究空间的“基/基向量”的概念

向量空间$\mathbf{V}$：理解为所有可能的n维向量的集合，但他们满足：其中任意向量间的加法、数乘结果，仍然属于这个向量空间

• 向量空间$\mathbf{V}$的基：向量空间$\mathbf{V}$中的一个最大无关组（向量线性无关，且能张成整个空间），就是$\mathbf{V}$的一组基
  (也可以说，空间的基是张成该空间的一个线性无关向量集)
• 一个空间可以有无数组基，但它们的共同点是：任意一组基，基向量的个数一定相同，这就是向量空间$\mathbf{V}$的维数

这就是说，基是构成空间的最基本元素，它们能够张成整个空间，并且其中的每一个基向量都不多余，都是必不可少的
给出一组基，就描述出了整个向量空间，因为基能够线性表出空间中的任何向量

一般情况下，n维空间的基向量，就是n个n维向量（否则肯定不能张成整个空间）
推论：n+1个n维向量线性相关（最极端的情况，其中n个向量线性无关，那么它们也就是基向量了，则剩下的那个向量，一定可以被这n个基向量线性表出）

n x n矩阵$\mathbf{A}$的列向量是一组基，条件是：

• 矩阵$\mathbf{A}$可逆

特殊的基：正交向量组

向量组的正交，要求两两向量都满足点积为0（比线性无关的要求更加严格，正交一定线性无关）

• 理解为“空间直角坐标系”，其中的基向量构成正交向量组
• 给一个向量组，如何求它的等价的标准正交向量组：施密特正交化
• 行/列向量组为标准正交向量组，则矩阵为正交矩阵
  正交矩阵$\mathbf{A}$满足${\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}={\mathbf{A}}^{-1}$
  $\Rightarrow {\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{A}=\mathbf{I}\Rightarrow det(\mathbf{A})=\pm 1$

正交向量组的内容在后续文章中会有进一步说明

向量组的秩

要寻找向量组张成的空间，就要寻找一组基（向量组的最大无关组），那么张成空间的维数也就是基向量的个数了

向量组的秩，就是其最大无关组包含的向量个数，就是向量组的张成空间的基向量个数，就是向量组的张成空间的维数

• 矩阵$\mathbf{A}$的秩=矩阵$\mathbf{A}$消元后的主元列个数=$\mathbf{A}$列向量组的最大无关组包含的向量个数=$\mathbf{A}$的列空间维数

一些性质：

• 矩阵$\mathbf{A}$的秩=行向量组的秩=列向量组的秩
• 向量组A能够线性表出向量组B，那么$Rank(A)>=Rank(B)$（表出的新向量组不可能升维）
• 向量组A和B能相互线性表出，则向量组A和B等价，则$Rank(A)=Rank(B)$