【4.3 欧拉函数详解】

$更好的阅读体验$

概念

• $1\sim N$中与$N$互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 $\varphi (N)$,特别的$\varphi (1)=1$
• 欧拉函数是一个积性函数，若$m$，$n$互质，则有$\varphi (m\times n)=\varphi (m)\times \varphi (n)$

---

4.3.1 公式法求欧拉函数

---

思想

• 算术基本定理：任何一个大于$1$的自然数$N$,如果$N$不为质数

• 那么$N$可以唯一分解成有限个质数的乘积$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\cdots \times p_i^{a_k}$,且最多只有一个大于$\sqrt{n}$的质因子

• 这里$p_1<p_2<p_3\dots p_i$均为质数，其中指数$a_k$是正整数

• 则$\varphi (N)=\varphi (p_1^{a_1})\times \varphi (p_2^{a_2})\times \cdots \times \varphi (p_n^{a_n})$

• 对于任意一项$\varphi (p_i^{a_i})$,与$p_i^{a_i}$不互质的数有$p_i,2\times p_i,3\times p_i,\dots ,p_i^{(a_i-1)}\times p_i$共$p_i^{(a_i-1)}$项

• 即$\varphi (p_i^{a_i})=p_i^{a_i}-p_i^{(a_i-1)}$

• $$\begin{array}{rl}\varphi (N)& =\varphi (p_1^{a_1})\times \varphi (p_2^{a_2})\times \cdots \times \varphi (p_n^{a_n})\\ & =(p_1^{a_1}-p_1^{(a_1-1)})\times (p_2^{a_2}-p_2^{(a_2-1)})\times \cdots \times (p_n^{a_n}-p_n^{(a_n-1)})\\ & =p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \cdots \times p_n^{a_n}\times (1-\frac{1}{p_1})\times (1-\frac{1}{p_2})\times \cdots \times (1-\frac{1}{p_n})\\ & =N\times \prod _{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})\end{array}$$

模板

typedef long long LL;

LL phi(LL n){
    
    
    LL res=n;
    
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
    
        
        if(n%i==0){
    
            res=res/i*(i-1);  //(1-1/i)转换为(i-1)/i
            while(n%i==0) n/=i;
        }
        
    }
    
    if(n>1) res=res/n*(n-1);
    
    return res;
    
}

---

例题 873. 欧拉函数

原题链接

描述

给定 n 个正整数 ai，请你求出每个数的欧拉函数。

欧拉函数的定义
1∼N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 ϕ(N)。
若在算数基本定理中，N=pa11pa22…pamm，则：
ϕ(N) = N×p1−1p1×p2−1p2×…×pm−1pm

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式
输出共 n 行，每行输出一个正整数 ai 的欧拉函数。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2×109
输入样例：

3
3
6
8

输出样例：

2
2
4

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL phi(LL n){
    
    
    LL res=n;
    
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
    
        
        if(n%i==0){
    
            res=res/i*(i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
        
    }
    
    if(n>1) res=res/n*(n-1);
    
    return res;
    
}

int main(){
    
    
    int n;
    
    cin>>n;
    
    while(n--){
    
        
        int x;
        
        cin>>x;
        
        cout<<phi(x)<<endl;
        
    }
    
    return 0;
    
}

---

4.3.2 筛法求欧拉函数

---

思想

• 利用线性筛，在筛选$1\sim N$中的质数时，将$1\sim N$的欧拉函数$\varphi (P_i)$求出
• 对于质数$P_i$,其$\varphi (P_i)=P\times (1-\frac{1}{P})=P-1$
• 对于合数$P_i$,其$\varphi (P_i)=N\times {\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$
• 在线性筛法求质数的模板中利用最小质因子筛掉合数的过程时：
  • 当$i\%primes[j]=0$时，说明$primes[j]$是$i$的一个质因子，且$primes[j]$是$primes[j]\times i$的一个质因子，故$\varphi (i)$包含$(1-\frac{1}{primes[j]})$的情况，即$\varphi (primes[j]\times i)=primes[j]\times \varphi (i)$
  • 当$i\%primes[j]\ne 0$时 ，说明$primes[j]$是$i$的最小质因子，且$primes[j]$不是$primes[j]\times i$的一个质因子，故$\varphi (i)$不包含$(1-\frac{1}{primes[j]})$的情况，即$\begin{array}{rl}\varphi (primes[j]\times i)& =primes[j]\times \varphi (i)\times (1-\frac{1}{primes[j]})\\ & =(primes[j]-1)\times \varphi (i)\end{array}$

模板

int primes[N];   //存储当前筛选出的质数

bool vis[N];  //标记是否被筛掉

int phi[N]; //记录欧拉函数的值

int cnt;  //记录质数个数

void get_phi(int n){
    
    
    phi[1]=1;  //特别的，phi[1]=1
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
    
        
        if(!vis[i]){
    
            primes[cnt++]=i;  //没有被筛掉说明是质数，记录到primes[N]中
            phi[i]=i-1;  //质数的欧拉函数的情况
        }
        
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
      //将1~n范围内质数primes[j]的i倍的合数筛掉
            
            vis[primes[j]*i]=1;
            if(i%primes[j]==0){
      //用最小质因子primes[j]筛掉合数
                phi[primes[j]*i]=primes[j]*phi[i];  //包含(1-1/primes[j])的情况
                break;
            }
            else phi[primes[j]*i]=(primes[j]-1)*phi[i];  //不包含(1-1/primes[j])的情况
            
        }
        
    }
    
}

---

例题 874. 筛法求欧拉函数

原题链接

描述

给定一个正整数 n，求 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

输入格式
共一行，包含一个整数 n。

输出格式
共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

数据范围
1≤n≤106
输入样例：

6

输出样例：

12

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+3;

typedef long long LL;

int primes[N];

bool vis[N];

int phi[N];

int cnt;

void get_phi(int n){
    
    
    phi[1]=1;
    
    for(int i=2;i<=n;i++){
    
        
        if(!vis[i]){
    
            primes[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++){
    
            
            vis[primes[j]*i]=1;
            if(i%primes[j]==0){
    
                phi[primes[j]*i]=primes[j]*phi[i];
                break;
            }
            else phi[primes[j]*i]=(primes[j]-1)*phi[i];
            
        }
        
    }
    
}

int main(){
    
    
    int n;
    
    cin>>n;
    
    get_phi(n);
    
    LL res=0;
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
    
        res+=phi[i];
    }
    
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
    
}

---