模板系列-二分

二分模板

1、整数上的二分搜索

整数上的二分搜索，因为缩小搜索范围时，有可能 $r=mid-1$或 $l=mid+1$，因此可以用 $ans$ 记录可行解。是否需要减 1 或加 1 ，要根据具体问题分析。

l=a;
r=b; //初始搜索范围
while(l<=r) {
    
	int mid=(l+r)/2;
	if(judge(mid)) {
    
		ans=mid; //记录可行解
		r=mid-1;
	}
	else
		l=mid+1;
}

2、实数上的二分搜索

实数上的二分搜索不可以直接比较大小，可以采用 $r-l>eps$ 作为循环条件，$eps$ 为一个较小的数，如 $1e-7$ 等。为避免丢失可能解，缩小范围时 $r=mid$ 或 $l=mid$ ，循环结束时返回最后一个可行解。

l=a; r=b; //初始搜索范围
while(r-l>eps){
    //判断差值
    double mid=(l+r)/2;
    if(judge(mid))
        l=mid;  //l记录了可行解，循环结束后返回答案l
    else
        r=mid;
}
// l 是答案

还可以运行固定的次数，如运行100次，可达 $10^{-30}$ 精度，一般情况都可以解决问题。

l=a;
r=b;
for(int i=0; i<100; i++) {
     //运行100次
	double mid=(l+r)/2;
	if(judge(mid))
		l=mid;
	else
		r=mid;
}
// l 是答案

3、二分搜索详解

例如，给定n个元素序列，这些元素是有序的（假定为升序），从序列中查找元素x。

用一维数组S[]存储该有序序列，设变量low和high表示查找范围的下界和上界，middle表示查找范围的中间位置，x为特定的查找元素。

3.1 算法步骤

（1）初始化。令low=0，即指向有序数组S[]的第一个元素；high=n−1，即指向有序数组S[]的最后一个元素。

（2）判定low≤high是否成立，如果成立，转向第3步，否则，算法结束。

（3）middle=(low+high)/2，即指向查找范围的中间元素。如果数量较大，为避免low+high溢出，可以采用middle=low+(high-low)/2。

（4）判断x与S[middle]的关系。如果x=S[middle]，则搜索成功，算法结束；如果x>S[middle]，则令low=middle+1；否则令high=middle−1，转向第2步。

3.2 算法实现

用 BinarySearch(int n, int s[], int x)函数实现折半查找算法，其中 $n$ 为元素个数，$s[]$ 为有序数组，$x$ 为待查找元素。$low$ 指向数组的第一个元素，$high$ 指向数组的最后一个元素。如果 $low\le high$，$middle=(low+high)/2$，即指向查找范围的中间元素。如果$x=S[middle]$ ，搜索成功，算法结束；如果 $x>S[middle]$，则令 $low=middle+1$ ，去后半部分搜索；否则令 $high=middle-1$ ，去前半部分搜索。

3.2.1 非递归算法

int BinarySearch(int s[],int n,int x) {
     //二分查找非递归算法
	int low=0,high=n-1;  //low指向数组的第一个元素，high指向数组的最后一个元素
	while(low<=high) {
    
		int middle=(low+high)/2;  //middle为查找范围的中间值
		if(x==s[middle])  //x等于查找范围的中间值，算法结束
			return middle;
		else if(x>s[middle]) //x大于查找范围的中间元素，则从左半部分查找
			low=middle+1;
		else            //x小于查找范围的中间元素，则从右半部分查找
			high=middle-1;
	}
	return -1;
}

3.2.2 递归算法

递归有自调用问题，增加两个参数 low 和 high来标记搜索范围的开始和结束。

int recursionBS(int s[],int x,int low,int high) {
     //二分查找递归算法
	//low指向搜索区间的第一个元素，high指向搜索区间的最后一个元素
	if(low>high)              //递归结束条件
		return -1;
	int middle=(low+high)/2; //计算middle值(查找范围的中间值)
	if(x==s[middle])        //x等于s[middle]，查找成功，算法结束
		return middle;
	else if(x<s[middle]) //x小于s[middle]，则从前半部分查找
		return recursionBS(s,x,low,middle-1);
	else            //x大于s[middle]，则从后半部分查找
		return recursionBS(s,x,middle+1,high);
}

3.2.3 算法分析

3.2.3.1 时间复杂度

二分查找算法，时间复杂度怎么计算呢？如果用T(n)来表示n个有序元素的二分查找算法的时间复杂度，那么：

• 当n=1时，需要一次比较，T(n)=O(1)。
• 当n>1时，待查找元素和中间位置元素比较，需要O(1)时间，如果比较不成功，那么需要在前半部分或后半部分搜索，问题的规模缩小了一半，时间复杂度变为 $T(\frac{n}{2})$ 。

二分查找的非递归算法和递归算法查找的方法是一样的，时间复杂度相同，均为 $O(logn)$。

3.2.3.2 空间复杂度

二分查找的非递归算法中，变量占用了一些辅助空间，这些辅助空间都是常数阶的，因此空间复杂度为 $O(1)$。

二分查找的递归算法，除了使用一些变量外，递归调用还需要使用栈来实现。在递归算法中，每一次递归调用都需要一个栈空间存储，那么我们只需要看看有多少次调用。假设原问题的规模为n，那么第一次递归就分为两个规模为 $\frac{n}{2}$ 的子问题，这两个子问题并不是每个都执行，只会执行其中之一。因为和中间值比较后，要么去前半部分查找，要么去后半部分查找；然后再把规模为 $\frac{n}{2}$ 的子问题继续划分为两个规模为 $\frac{n}{4}$ 的子问题，选择其一；继续分治下去，最坏的情况会分治到只剩下一个数值，那么算法执行的节点数就是从树根到叶子所经过的节点，每一层执行一个，直到最后一层，如图所示。

递归调用最终的规模为1，即 $\frac{n}{2x}=1$，则 $x=logn$ 。假设阴影部分是搜索经过的路径，一共经过了 $logn$ 个节点，也就是说递归调用了 $logn$ 次。递归算法使用的栈空间为递归树的深度，因此二分查找递归算法的空间复杂度为 $O(logn)$ 。

4、二分搜索需要注意的几个问题

1. 必须满足有序性。
2. 搜索范围。初始时，需要指定搜索范围，如果不知道具体范围，正数可以采用范围 $[0,inf]$ ，有可能为负数可以采用范围[-inf,inf]，inf为无穷大，通常设定为 $0x3f3f3f3f$。
3. 二分搜索。一般情况下，$mid=(l+r)/2$ 或 $mid=(l+r)>>1$ 。如果l和r特别大，为避免 $l+r$ 溢出，可以采用 $mid=l+(r-l)/2$ 。判断二分搜索结束的条件，以及当判断 $mid$ 可行时到前半部分搜索，还是到后半部分搜索，需要具体问题具体分析。
4. 答案是什么。特别小心搜索范围减少时，是否丢失在mid点上的答案。