二叉搜索树（特性篇）

首先，BST 的特性大家应该都很熟悉了：

1. 对于 BST 的每一个节点 node，左子树节点的值都比 node 的值要小，右子树节点的值都比 node 的值大。
2. 对于 BST 的每一个节点 node，它的左侧子树和右侧子树都是 BST。

二叉搜索树并不算复杂，但我觉得它可以算是数据结构领域的半壁江山，直接基于 BST 的数据结构有 AVL 树，红黑树等等，拥有了自平衡性质，可以提供 logN 级别的增删查改效率；还有 B+ 树，线段树等结构都是基于 BST 的思想来设计的。

从做算法题的角度来看 BST，除了它的定义，还有一个重要的性质：BST 的中序遍历结果是有序的（升序）。

也就是说，如果输入一棵 BST，以下代码可以将 BST 中每个节点的值升序打印出来：

void traverse(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    traverse(root.left);
    // 中序遍历代码位置
    print(root.val);
    traverse(root.right);
}

寻找第 K 小的元素

力扣第 230 题「 二叉搜索树中第 K 小的元素」

，一个直接的思路就是升序排序，然后找第 k 个元素呗。BST 的中序遍历其实就是升序排序的结果，找第 k 个元素肯定不是什么难事。

int kthSmallest(TreeNode root, int k) {
    // 利用 BST 的中序遍历特性
    traverse(root, k);
    return res;
}

// 记录结果
int res = 0;
// 记录当前元素的排名
int rank = 0;
void traverse(TreeNode root, int k) {
    if (root == null) {
        return;
    }
    traverse(root.left, k);
    /* 中序遍历代码位置 */
    rank++;
    if (k == rank) {
        // 找到第 k 小的元素
        res = root.val;
        return;
    }
    /*****************/
    traverse(root.right, k);
}

如果按照我们刚才说的方法，利用「BST 中序遍历就是升序排序结果」这个性质，每次寻找第 k 小的元素都要中序遍历一次，最坏的时间复杂度是 O(N)，N 是 BST 的节点个数。

要知道 BST 性质是非常牛逼的，像红黑树这种改良的自平衡 BST，增删查改都是 O(logN) 的复杂度，让你算一个第 k 小元素，时间复杂度竟然要 O(N)，有点低效了。

那么回到这个问题，想找到第 k 小的元素，或者说找到排名为 k 的元素，如果想达到对数级复杂度，关键也在于每个节点得知道他自己排第几。

比如说你让我查找排名为 k 的元素，当前节点知道自己排名第 m，那么我可以比较 m 和 k 的大小：

1. 如果 m == k，显然就是找到了第 k 个元素，返回当前节点就行了。

2. 如果 k < m，那说明排名第 k 的元素在左子树，所以可以去左子树搜索第 k 个元素。

3. 如果 k > m，那说明排名第 k 的元素在右子树，所以可以去右子树搜索第 k - m - 1 个元素。

这样就可以将时间复杂度降到 O(logN) 了。

那么，如何让每一个节点知道自己的排名呢？

这就是我们之前说的，需要在二叉树节点中维护额外信息。每个节点需要记录，以自己为根的这棵二叉树有多少个节点。

也就是说，我们 TreeNode 中的字段应该如下：

class TreeNode {
    int val;
    // 以该节点为根的树的节点总数
    int size;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
}

有了 size 字段，外加 BST 节点左小右大的性质，对于每个节点 node 就可以通过 node.left 推导出 node 的排名，从而做到我们刚才说到的对数级算法。

当然，size 字段需要在增删元素的时候需要被正确维护，力扣提供的 TreeNode 是没有 size 这个字段的，所以我们这道题就只能利用 BST 中序遍历的特性实现了，但是我们上面说到的优化思路是 BST 的常见操作，还是有必要理解的。

BST 转化累加树

力扣第 538 题和 1038 题都是这道题 把二叉搜索树转换为累加树

其实就是二叉树的中序遍历，用sum来记录当前累加和

/** * Definition for a binary tree node. * public class TreeNode { * int val; * TreeNode left; * TreeNode right; * TreeNode() {} * TreeNode(int val) { this.val = val; } * TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) { * this.val = val; * this.left = left; * this.right = right; * } * } */
class Solution {
    
    int sum=0;
    public TreeNode convertBST(TreeNode root) {
    
        traverse(root);
        return root;
    }
    public void traverse(TreeNode root){
    
        if(root==null){
    
            return ;
        }
        traverse(root.right);
        sum+=root.val;
        root.val=sum;
        traverse(root.left);
    }
}