【PR ＃5 A】双向奔赴（状压DP）

双向奔赴

题目链接：PR #5 A

题目大意

给你一个简单无向图，然后你要给每条边定向，每个边每个方向有不一样的费用。
然后要你用最小的费用使得这张图强连通，如果无法强连通输出 -1。

思路

首先考虑最暴力的方法，可以直接找一条路径从 $1$ 出发经过所有点（可以重复经过点），然后回到 $1$。

然后我们简化一下题意，我们可以默认选边权小的那个，然后如果要选另一边就要加上差的费用，然后最后加上边权小和。

然后发现我们其实可以把它分割，分割成若干个环。
具体一点就是你已经有一个强连通的子集，然后你每次从一个子集里面的点往外走，一直走没有见过的，然后最后走回到子集里面，然后你外面见到的点也就也跟着强连通了。（这个一直不走见过的是没问题的，因为走见过的你可以把它拆成若干个没有见过的）
然后就有一个大概的状压想法了：$g_S$ 表示当前 $S$ 这个子集强连通的最小费用，$f_{S,i,j}$ 为 $S$ 这个子集强连通，环的终点是 $i$，现在在 $j$。
（然后为了我们能表示出走出环的点，所以 $f_{S,i,j}$ 的 $S$ 就表示成强连通的子集与现在要加上的点的并集）
然后就是三种，一个是从 $g$ 到 $f$，接着是 $f$ 内部转移，最后 $f$ 到 $g$。

复杂度为 $O(n^3{2}^n)$ 能过。

然后你会发现锅了，因为你这样是不能保证一条边只会从一个方向走的。
（就比如你从 $g$ 走一个点到 $f$ 结果你直接从 $f$ 走回 $g$ 了）
那我们考虑怎么办，因为这个时候复杂度已经是很大的了不能再乘 $n$，考虑压缩一下，会发现你 $f_{S,i,j}$ 的 $j$ 是一定在 $S$ 中的，那我们能不能不在呢？
自然是可以的，那如果我们用不在的方式转移，但是一开始又在呢？
你会发现就不能直接归到答案里面（因为你答案枚举 $j$ 是要不在 $S$ 里面的），而是要通过走一步消除掉这个特异性（因为你无论怎样都是正常转移，那下一个点肯定不在点集里面），所以就可以走回去了。
然后就可以用这个很妙的方法特判掉这个情况啦！
（具体实现可以看代码）

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 18;
int n, a[N][N], f[1 << N][N][N], g[1 << N], ans;

int main() {
    
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < n; j++)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < i; j++)
			if (a[i][j] != -1) {
    
				int x = min(a[i][j], a[j][i]);
				a[i][j] -= x; a[j][i] -= x; ans += x;
			}
	
	memset(f, 0x7f, sizeof(f));
	memset(g, 0x7f, sizeof(g)); int inf = g[0];
	g[1] = 0;
	for (int S = 1; S < (1 << n); S++) {
    
		if (g[S] < inf) {
    
			for (int i = 0; i < n; i++) if ((S >> i) & 1)
				for (int s = 0; s < n; s++) if ((S >> s) & 1)
					for (int j = 0; j < n; j++) if (!((S >> j) & 1) && a[s][j] != -1) {
    
						if (s != i) f[S][i][j] = min(f[S][i][j], g[S] + a[s][j]);
							else f[S | (1 << j)][i][j] = min(f[S | (1 << j)][i][j], g[S] + a[s][j]);//不能从起点出发到这个点就直接到终点 
					}
		}
		for (int i = 0; i < n; i++) if ((S >> i) & 1)
			for (int j = 0; j < n; j++) if (f[S][i][j] < inf)
				for (int k = 0; k < n; k++) if (!((S >> k) & 1) && a[j][k] != -1)
					f[S | (1 << j)][i][k] = min(f[S | (1 << j)][i][k], f[S][i][j] + a[j][k]);
		for (int i = 0; i < n; i++) if ((S >> i) & 1)
			for (int j = 0; j < n; j++) if (!((S >> j) & 1) && f[S][i][j] < inf && a[j][i] != -1)
				g[S | (1 << j)] = min(g[S | (1 << j)], f[S][i][j] + a[j][i]);
	}
	
	if (g[(1 << n) - 1] < inf) ans += g[(1 << n) - 1];
		else ans = -1;
	printf("%d", ans);
	
	return 0;
}