2022阿里巴巴全球数学竞赛 第4题 虎虎生威（盲盒问题、集卡问题）解决思路

题目

来自 2022阿里巴巴全球数学竞赛 第4题（单选题）

基础概念

数学期望

在概率论和统计学中，数学期望(mathematic expectation)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。

在这道题中，数学期望就是平均需要抽多少张卡才能集齐。

假如胖虎想赢一把就睡觉，赢的概率是1/10的话，需要的次数及其概率的关系，是几何分布的（前面都失败，最后一次成功，就是几何分布），概率平均值10就是胖虎平均需要的次数。（10场最后一场赢了，这种情况概率约为0.04，但是却是整个概率图的平均概率，对应的10就是平均次数了）

满足几何分布的问题，从计算上会有个简单的公式——期望就是概率的倒数。

胖虎10%的成功概率，期望当然就是10。

题解

“虎生威”问题

数学期望 = 1（第一次抽到任意卡）+ 3/2（第二次抽到不重复的卡）+ 3（第三次抽到不重复的卡） = 5.5

“水浒传108卡”问题

也是数学期望相乘

数学推导后就算出了期望：568（平均需要买568包）

可以看到，n越大，数学期望就越大。

“虎虎生威”问题

出现了“重复”的情况。
此题可以用蒙特卡罗方法求解

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,是使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征,故借用赌城蒙特卡罗命名。

算法如下：（就是很多次模拟，每一次都循环抽卡直到抽到虎虎生威为止，记录次数，最终算平均次数）

考虑到时间问题，需要更加科学的方法求解。
我们进行分类讨论。
需要抽到四张卡，所以我们将各种集齐卡片的情况分类出来，每种情况都会有四轮，到哪一轮就代表抽到了第几张卡，计算需要的次数（也就是这一轮的期望）。

	第一轮期望	第二轮期望	第三轮期望	第四轮期望
第一轮抽到虎	1（虎）	1（随意）	3/2	3
第一轮抽到生，第二轮抽到虎	1（生）	1（虎）	3/2	3
第一轮抽到生，第二轮抽到威	1（生）	1（威）	3	3
第一轮抽到生，第二轮抽到生	1（生）	1（生）	/	/
第一轮抽到威，第二轮抽到虎	1（威）	1（虎）	3/2	3
第一轮抽到威，第二轮抽到威	1（威）	1（威）	/	/
第一轮抽到威，第二轮抽到生	1（威）	1（生）	3	3

表中，第一轮和第二轮都为1的原因，就是因为情况被分出来了，抽到哪个是被我们确定了，所以概率为1，期望为1。
/ 代表此情况特殊，因为抽到生相当于回到了原点。
看似无法算下去，其实我们只要将第一轮抽到生和第二轮抽到生的情况都设为x，那么就能够算出x的数学期望是多少。
x（第一轮抽到生） = 1/3（第二轮抽到虎） * 9/2 + 1/3（第二轮抽到威） * 6 + 1/3 * x（第二轮抽到生）+ 1（第二轮的一次）

注：其实也可以理解为：
x（第一轮抽到生） = 1/3（第二轮抽到虎） * 11/2 + 1/3（第二轮抽到威） * 7 + 1/3 * (x+1)（第二轮抽到生）

最终得到x是27/4
同理，也可以得到第一次抽中威的情况也是27/4
那么表格变为：

最终数学期望就是三种情况相乘，等于7.333。

参考：
【阿里数赛】单选题有多难？你被数学选中了，来对答案！