树状数组模版+例题

简介

树状数组是一种维护区间和的数据结构，支持单点查询。经过魔改后也可以进行区间修改-单点查询, 区间修改-区间查询。你问为什么没有单点修改, 单点查询？因为数组就可以解决了哈哈。

我这里就不介绍原理了，网上一搜一大把。

基本树状数组

const int maxn = 100;
int a[maxn+5];  // 存放原始数据
int c[maxn+5];  // 存放树状数组
int n;  // 存放数据的最大下标

int lowbit(int x) {
    
    return x&(-x);
}
void add(int i, int k) {
    
    while(i <= n) {
    
        c[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}
int getsum(int i) {
      // 计算从1开始到i(两边都是闭区间)的区间和
    int res = 0;
    while(i > 0) {
    
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
}
void init() {
      // 创建树的时候调用
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    
        c[i] += a[i];
        int j = i + lowbit(i);
        if( j <= n) c[j] += c[i];
    }
}

// 查询[x, y]
int sum = getsum(y)-getsum(x-1);

例题: 单点修改, 区间查询

区间修改, 单点查询

首先不能直接套用上面的模版，对区间内的每个元素进行单点修改时间复杂度肯定会爆。

思考一下对区间进行修改时的特点，对整个区间进行修改的时候，区间内相邻元素的差值是不变的，所以我们可以用树状数组维护原数组的差分数组，修改的时候只需要对区间的两个端点修改即可。查询某个点的值时，求出差分数组的前缀和即可。

// 这里的函数直接套用上面的模版即可

// [x, y]区间加上k
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
      // 读入数据
    scanf("%d", &a[i]);
    update(i, a[i]-a[i-1]);
}

// [x, y]区间加上k
update(x, k);
update(y+1, -k);

int sum = getsum(i);  // 这里的getsum变成了对差分数组的前i个元素进行求和, 于是得到的是a[i]

例题: 区间修改, 单点查询

区间修改, 区间查询

这个就更玄学了，这个问题完全可以用线段树来解决，而且明显树状数组能维护的信息不如线段树多。但是线段树的常数要比线段树小，所以在某些条件下还是能解决一些问题的 (就比如下面的例题)
实际代码模版也差不多，但是运用了更加神奇的方法

// 需要维护两个树状数组
const int maxn;
int n, m;
int a[maxn];
int sum1[maxn];  // (D[1] + D[2] + ... D[n]), D是差分数组
int sum2[maxn];  // (1*D[1] + 2*D[2] + .. + n*D[n])

void update(int i, int k) {
    
    int x = i;
    while(i <= n) {
    
        sum1[i] += k;
        sum2[i] += k*(x-1);
        i += lowbit(i);
    }
}
int getsum(int i) {
    
    int res = 0, x = i;
    while(i > 0) {
    
        res += x*sum1[i] - sum2[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

// 读入数据
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    
    scanf("%d", &a[i]);
    update(i, a[i]-a[i-1]);
}
// [x, y]区间加上k
update(x, k);
update(y+1, -k);

// 求[x, y]区间和
int sum = getsum(y) - getsum(x-1);

例题: 区间修改, 区间查询

//连这一篇都要限流...